Жорданова матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем $k$ , с блоками вида

$J_\lambda=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\\end{pmatrix}$

блок $J λ$ называется жордановой клеткой с собственным значением $λ$ .

Для произвольной квадратной матрицы $A$ над алгебраически замкнутым полем $k$ всегда существует такая квадратная невырожденная матрица $C$ над $k$ , что $J = C - 1 A C$ является жордановой матрицей (иначе говоря, $A$ сопряжена в $k$ некоторой жордановой матрице).

Матрица $J = C - 1 A C$ , указанная выше, называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы $A$ .

Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над $k$ в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, например, когда основное поле не содержит всех корней минимального многочлена матрицы.

[править] Свойства

Количество жордановых клеток порядка $n$ с собственным значением $λ$ в жордановой форме матрицы $A$ можно вычислить по формуле

$c_n(\lambda)= \operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n-1} -2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n} +\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n+1}$

где

I

— единичная матрица того же порядка что и

A

, $\operatorname{rank} B$ — ранг матрицы

B

, а $\operatorname{rank} (A-\lambda I)^0$ , по определению, равен порядку

A

В случае если поле $k$ не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица $A$ была подобна над $k$ некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле $k$ содержало все корни характеристического многочлена матрицы $A$ .
У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.