Poliedro
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Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é composta por um número finito de faces, em que cada uma das faces é um polígono. Os seus elementos mais importantes são as faces, as arestas e os vértices
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[editar] Características
Convexos e Côncavos
Um poliedro diz-se convexo, como o cubo, quando um segmento de recta, unindo quaisquer dois pontos do poliedro, está totalmente dentro do poliedro.
Um poliedro diz-se côncavo, quando um segmento de recta, unindo dois pontos do poliedro, sai fora do poliedro.
Regulares e não regulares
Os poliedros podem ser regulares ou não. Diz-se que um poliedro é regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes, e de todos os vértices parte um mesmo número de arestas.
Poliedro de faces regulares
Um poliedro diz-se de faces regulares quando todas as faces do poliedro são polígonos regulares.
Poliedro de faces uniformes
Um poliedro diz-se de faces uniformes quando todas as faces são iguais.
[editar] Operações de transformação sobre sólidos
[editar] Poliedros duais
O poliedro dual é obtido ligando os centros de todos os pares de faces adjacentes de qualquer sólido, produzindo-se outro sólido menor.
[editar] Truncatura
A Truncatura de um Sólido é uma operação que consiste em cortar os vértices ou as arestas de um sólido.
[editar] Acumulação
A Acumulação de sólidos é a operação dual da truncatura e consiste em substituir as faces poligonais por pirâmides.
[editar] Snubificação
A Snubificação de um Poliedro consiste em afastar as faces do poliedro, rodar as mesmas um certo ângulo (normalmente 45º) e preencher o espaço vazio entre as novas faces com triângulos.
[editar] Expansão
A Expansão de Sólido é um caso especial de uma Snubificação sem rotação.
[editar] Composição
Composição de Sólido consiste em colocar vários poliedros (ou sólidos) partilhando o mesmo centro. O poliedro resultante chama-se Poliedro composto.
[editar] Estrelamento
O estrelamento de um poliedro consiste em estender os planos definidos pelas suas faces até se intersectarem, formando assim um novo sólido.
[editar] Poliedros regulares
Existem 9 poliedros regulares, 5 Sólidos Platónicos e 4 Poliedros de Kepler-Poinsot.
Sólidos Platónicos são poliedros regulares convexos.
Existem apenas cinco: Tetraedro
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Poliedros de Kepler-Poinsot são poliedros que são simultaneamente regulares e não convexos.
Existem apenas quatro: Pequeno dodecaedro estrelado
Grande dodecaedro estrelado
Grande dodecaedro
[editar] Poliedros não regulares
[editar] Sólidos de Arquimedes
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Sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos.
Onze são obtidos truncando sólidos platónicos:
O Tetraedro truncado, o Cuboctaedro, o Cubo truncado, o Octaedro truncado, o Rombicuboctaedro, o Cuboctaedro truncado, o Icosidodecaedro, o Dodecaedro truncado, o Icosaedro truncado, o Rombicosidodecaedro e o Icosidodecaedro truncado.
Dois que são obtidos por snubificação de sólidos platónicos:
O Cubo snub e o Icosidodecaedro snub. Estes dois sólidos têm caso isomórfico, quer dizer uma figura de espelho correspondente.
Os sólidos duais dos sólidos de Arquimedes são os Sólidos de Catalan.
[editar] Prismas e Antiprismas
Os prismas e antiprismas são grupos infinitos.
Os Prismas são constituidos por duas faces paralelas chamadas directrizes que dão o nome ao prisma, e uma série de rectângulos, tantos como lados da face directriz. Por exemplo, o prisma cujas faces directrizes são triangulares chama-se prisma triangular e compõe-se de 2 triângulos e 3 rectângulos; tem 9 arestas e 6 vértices de ordem 3 de onde convergem sempre dois rectângulos e um triângulo. Outro exemplo seria o Prisma decagonal composto de 2 decágonos + 10 rectângulos; tem 30 arestas e 20 vértices de ordem 3.
Os antiprismas têm uma construção parecida, duas faces paralelas e a uni-las uma série de triângulos
O número de triângulos é número de lados da face directriz multiplicado por dois; assim o antiprisma pentagonal (figura) compõe-se de 2 pentágonos e 10 triângulos; tem 10 vértices e 20 arestas.
[editar] Pirâmides e Bipirâmides
Pirâmide de n-lados é um poliedro formado pela ligação de todos os vértices de um lado poligonal de n lados com um único ponto, chamado vértice da pirâmide, através de n faces triangulares.
Bipirâmide ou dipirâmide é um poliedro formado juntando a uma pirâmide e sua imagem do espelho na base. Exemplo Octaedro.
[editar] Sólidos de Catalán
Os Sólidos de Catalan são os sólidos duais dos sólidos de Arquimedes
Os Sólidos de Catalan são 13:
O Tetraedro triakis; o Dodecaedro rômbico; o Octaedro triakis; o Hexaedro tetrakis; o Icositetraedro deltoidal; o Dodecaedro disdiakis; o Icositetraedro pentagonal; o Triacontaedro rômbico; o Icosaedro triakis; o Dodecaedro pentakis; o Hexecontaedro deltoidal; o Triacontaedro disdiakis e o Hexecontaedro pentagonal.
[editar] Deltaedros
Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros. Há infinitos deltaedros, mas apenas oito são convexos:
- 3 Poliedros regulares convexos (3 dos Sólidos Platónicos)
- 5 Poliedros não uniformes convexos (5 dos Sólidos de Johnson)
- Bipirâmide triangular
- Bipirâmide pentagonal
- Dispenoide snub
- Prisma triangular triaumentado
- Bipirâmide quadrada giralongada
[editar] Trapezoedros
Um Trapezoedro ou deltoedro é um poliedro dual de um antiprisma. As suas faces são deltoides.
