Aridade

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Na matemática a aridade de uma função ou operação é o numero de argumentos ou operandos tomados. A aridade de uma relação é o número n de elementos que compõem as n-uplas ordenadas pertencentes à relação.

Índice 1 Aridade de uma função 1.1 Função nulária 1.2 Função unária 1.3 Função binária 1.4 Função ternária 1.5 Função n-ária 2 Aridade de uma Relação 2.1 Relação nulária 2.2 Relação unária 2.3 Relação binária 2.4 Relação ternária 2.5 Relação n-ária 3 Referências

[editar] Aridade de uma função

Uma função ou operação f é dita de aridade n se

Note que se A₁, ..., A_n forem iguais,

Ex. A operação de negação de um número real, as funções seno e cosseno têm aridade 1. As operações da soma e multiplicação têm aridade 2.

Na matemática não é comum deparar-se com operações de aridade maior do que 2, salvo em áreas especializadas. Na programação o uso de operação 3-ária (if – then – else) é mais comum, embora não seja raro definir funções com mais de 3 argumentos.

Em geral, o nome das funções ou operações com uma dada aridade segue a convenção similar usada para sistema numeral n-base assim como binária e hexadecimal. Uma combinação de um prefixo latino com terminação -ária. Por exemplo:

[editar] Função nulária

Uma função nulária não mapeia argumentos. É possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre qualquer conjunto A e o conjunto das funções nulárias sobre A. Isso significa que qualquer elemento de A pode ser visto como uma função.

Ex.

• f₃ : {∅} -> N, onde f₃ (∅) = 3;
• f₄ : {∅} -> N, onde f₄ (∅) = 4;
• f₀ : {∅} -> N; tal que f₀ (∅) = 0;
• ∀n ∈ N ∃f_n  : N⁰ → N tal que f_n (∅) = n.

Algumas vezes é útil considerar uma constante como uma operação de aridade 0 e doravante chamada de nulária.

Também, em uma programação não-funcional, uma função sem argumentos pode ser significativa (e não necessariamente constante) devido a efeitos colaterais. Freqüentemente, tais funções possuem de fato algumas entradas escondidas às quais podem ser variáveis globais, incluindo o estado total de um sistema (tempo, memória livre...). Estes são importantes exemplos e que também existem em linguagens de programação puramente funcionais.

[editar] Função unária

Uma operação unária mapeia um argumento. Ex:

• A função f : N → N tal que f(n) = 2n é uma função unária.
• A função identidade, definida por Id: N → N onde Id(n) = n é um outro exemplo de função unária.

Exemplos de operadores unários na matemática e em programação incluem o − e o + unário, o incremento (++) e decremento (−−) de operadores em C (não em linguagem lógica), o fatorial (!) e o valor absoluto.

[editar] Função binária

Uma operação binária mapeia 2 argumentos Ex: A função π₁ : N x N -> N, onde π₁(m,n) = m, chamada 1^a projeção é uma função binária. Semelhantemente obtém-se a 2^a projeção π₂(m,n) = n.

A maioria dos operadores encontrados na matemática são os de forma binária. Estes podem ser operadores de multiplicação, adição e divisão, tanto para programação quanto para matemática. Predicados lógicos como OR, XOR, AND, são tipicamente usados como operadores binários com dois operando distintos.

[editar] Função ternária

Uma operação ternária mapeia 3 argumentos. Ex: O operador condicional (if – then – else) utilizado em programação.

[editar] Função n-ária

Uma função n-ária mapeia n argumentos.

Do ponto de vista da matemática, uma função com n argumentos podem sempre ser consideradas como uma função de um único argumento o qual é um elemento de algum produto cartesiano. Entretanto, pode ser conveniente para notação considerar funções n-árias normalmente. O mesmo é verdade para linguagens de programação, onde funções tomam vários argumentos podem sempre ser definidos como funções que tomam um único argumento de algum tipo complexo ou “estrutura”.

[editar] Aridade de uma Relação

A aridade de uma relação R é o número de elementos de um elemento de R, ou seja, as relações R(a_1,...,a_n), P ⊆ A₁×...×A_n e Q ⊆ Nⁿ são todas relações n-árias.

[editar] Relação nulária

Uma relação nulária R é uma proposição, um valor de verdade. Ex: Está chovendo em Natal; 2 é maior do que 3; O gato é branco.

[editar] Relação unária

Uma relação unária R(x) é uma propriedade que se aplica um elemento x. Ex:

• Está chovendo em Natal, pode ser escrito como Está_chovendo(Natal);
• 2 é maior do que 3: Maior_do_que_3(2);
• O gato é branco: Branco(gato).

[editar] Relação binária

Uma relação binária R(x,y) é uma relação entre os elementos x e y. Ex:

• 2 é maior do que 3: Maior(2, 3);
• Alberto é pai de Márcia: Pai(alberto, márcia).

[editar] Relação ternária

Uma relação ternária R(x, y, z) é uma relação entre os elementos x, y e z. Ex:

• Na esquina da Rua 5 com a Av. 6 há uma loja: Fica_na_esquina(loja, Rua 5, Av. 6).

[editar] Relação n-ária

Uma relação n-ária R(x₁,..., x_n) é uma relação entre n elementos. Ex:

• A relação entre um indivíduo, seu nome, seu RG e seu CPF é uma relação quaternária;

[editar] Referências

SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta - Uma Introdução. São Paulo: Thomson, 2003. ISBN 8522102910.