Przestrzeń Focka

Z Wikipedii

Spis treści

1 Przestrzeń Focka
2 Rozkład jedynki
3 Iloczyn skalarny
4 Operatory kreacji i anihilacji

[edytuj] Przestrzeń Focka

Przestrzeń Focka jest zbudowana z iloczynów prostych przestrzeni jednocząstkowych, dlatego zachodzi:

$|\alpha_{1}\ldots\alpha_{N}) = |\alpha_{1}\rangle \otimes |\alpha_{2}\rangle \otimes \ldots \otimes |\alpha_{N}\rangle$

Gdzie $|\alpha_{1}\ldots\alpha_{N})$ jest pseudowektorem stanu. Wektor stanu przestrzeni Focka $|\alpha_{1}\ldots\alpha_{N}\}$ otrzymujemy przez działanie operatora $P ξ$ na pseudowektor $|\alpha_{1}\ldots\alpha_{N})$ . Operator $P ξ$ jest zdefiniowany jako:

$P_{\xi}|\alpha_{1}\ldots\alpha_{N}) = \frac{1}{N!} \sum_{p\in\Pi(N)} \xi^{p} |\alpha_{p_{1}}\ldots\alpha_{p_{N}})$

gdzie $ξ p : = ξ s i g n (p)$ . Pseudowektor stanu $|\alpha_{1}\ldots\alpha_{N})$ jest wektorem należącym do przestrzeni $H_{N}=H\otimes\ldots\otimes H$ gdzie H jest przestrzenią Hilberta dla pojedynczej cząstki.

[edytuj] Rozkład jedynki

W przestrzeni Focka operator jednostkowy można zapisać jako: $1=\sum_{N=0}^{\infty}\frac{1}{N!}\sum_{\alpha_{1}\ldots\alpha_{N}} |\alpha_{1}\ldots\alpha_{N}\}\{\alpha_{1}\ldots\alpha_{N}|$

[edytuj] Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny wektorów stanu w przestrzeni Focka definiujemy jako:

$\{\alpha_{1}\ldots\alpha_{N}|\beta_{1}\ldots\beta_{M}\} = 0$ dla $N\neq M$ z definicji.

$\{\alpha_{1}\ldots\alpha_{N}|\beta_{1}\ldots\beta_{N}\} = \sum_{p\in\Pi(N)}\xi^{p}\langle\alpha_{1}|\beta_{p_{1}}\rangle\ldots\langle\alpha_{N}|\beta_{p_{N}}\rangle$

[edytuj] Operatory kreacji i anihilacji

Działanie operatorów kreacji i anihilacji w przestrzeni Focka zapisujemy w następujący sposób:

$a_{\gamma} |\beta_{1}\ldots\beta_{N}\} = \sum_{i=1}^{N}\delta_{\gamma\beta_{i}}\xi^{i-1}|\beta_{1}\ldots\hat{\beta_{i}}\ldots\beta_{N}\}$

Gdzie symbol $\hat{\beta_{i}}$ oznacza, że w wektorze $|\beta_{1}\ldots\beta_{N}\}$ nie występuje element $β i$ .

$a^{\dagger}_{\gamma} |\beta_{1}\ldots\beta_{N}\} = |\gamma\beta_{1}\ldots\beta_{N}\}$

Korzystając z powyższych informacji możemy znaleźć wartość komutatora $[a_{\alpha},a^{\dagger}_{\beta}]_{\xi}$ .

$a^{\dagger}_{\beta}a_{\alpha} |\gamma_{1}\ldots\gamma_{N}\} = a^{\dagger}_{\beta}\sum_{i=1}^{N}\delta_{\alpha\gamma_{i}}\xi^{i-1}|\gamma_{1}\ldots\hat{\gamma_{i}}\ldots\gamma_{N}\}=$ $\sum_{i=1}^{N}\delta_{\alpha\gamma_{i}}\xi^{i-1}|\beta\gamma_{1}\ldots\hat{\gamma_{i}}\ldots\gamma_{N}\}$

$a_{\alpha}a^{\dagger}_{\beta} |\gamma_{1}\ldots\gamma_{N}\}= a_{\alpha} |\beta\gamma_{1}\ldots\gamma_{N}\} =$ $\delta_{\alpha\beta} |\gamma_{1}\ldots\gamma_{N}\} + \sum_{i=1}^{N}\delta_{\alpha\gamma_{i}}\xi^{i}|\beta\gamma_{1}\ldots\hat{\gamma_{i}}\ldots\gamma_{N}\}$

Korzystając z powyższych równań możemy zapisać:

$[a_{\alpha},a^{\dagger}_{\beta}]_{\xi}|\gamma_{1}\ldots\gamma_{N}\} = (a_{\alpha}a^{\dagger}_{\beta} - \xi a^{\dagger}_{\beta}a_{\alpha}) |\gamma_{1}\ldots\gamma_{N}\} = \delta{\alpha\beta}|\gamma_{1}\ldots\gamma_{N}\}$