Przekrój Dedekinda
Z Wikipedii
Przekrój Dedekinda – para podzbiorów porządku liniowego wyznaczające cięcie w tym zbiorze. Inna używana nazwa tego pojęcia to cięcie Dedekinda.
Pojęcie to było wprowadzone przez niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda w 1872[1] w celu skonstruowania liczb rzeczywistych. Jak Dedekind sam napisał:
- w każdym przypadku kiedy mamy przekrój (A1,A2) nie odpowiadający żadnej liczbie wymiernej wyznaczamy nową liczbę niewymierną, którą można uważać za całkowicie określoną przez ten przekrój; będziemy mówić że ta liczba odpowiada przekrojowi lub że produkuje ona ten przekrój.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech 
będzie porządkiem liniowym. Przekrojem Dedekinda zbioru 
nazywamy parę zbiorów (A,B) taką, że 
oraz spełnione są następujące warunki:
,
,- jeżeli
i 
, to a < b.
Zbiór A nazywamy klasą dolną, a zbiór B klasą górną przekroju.
[edytuj] Rodzaje przekrojów
Przypuśćmy, że (A,B) jest przekrojem Dedekinda w porządku liniowym . Wówczas ma miejsce jedna z następujących możliwości:
- zbiór A zawiera element największy, a zbiór B ma element najmniejszy,
- zbiór A ma element największy, ale w zbiorze B nie istnieje element najmniejszy,
- w zbiorze A nie ma elementu największego, ale w zbiorze B istnieje element najmniejszy,
- ani zbiór A nie ma elementu największego ani zbiór B nie ma elementu najmniejszy,
W przypadku pierwszym mówi się, że przekrój (A,B) wyznacza skok a w ostatnim przypadku mówimy że wyznacza on lukę. W porządkach gęstych nie występują skoki, a w porządkach ciągłych wszystkie przekroje Dedekinda są albo drugiego albo trzeciego rodzaju.
[edytuj] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki
- Aksjomaty i konstrukcje liczb#Liczby rzeczywiste
- Aksjomat ciągłości
- praporządek
- częściowy porządek
[edytuj] Bibliografia
- ↑ R. Dedekind: "Stetigkeit und Irrationale Zahlen", 1872. Tłumaczenie angielskie tego tekstu jest zawarte także w "Essays on the Theory of Numbers", tłumaczenie i edycja: W. W. Beman, W. W., Dover 1901, 1963.
