Minor macierzy
Z Wikipedii
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
 |
|
Niektóre typy macierzy Operacje na macierzach Inne zagadnienia |
| edytuj ten szablon |
Minor stopnia k macierzy A o m wierszach i n kolumnach, tak że k ≤ min(m,n) to wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k powstałej z macierzy A przez skreślenie (m-k) wierszy i (n-k) kolumn. Minorami stopnia k=1 są komórki macierzy.
Jeśli przyjmiemy 
oraz 
, to minorem [A]I,J nazywamy minor stopnia k utworzony przez skreślenie wierszy macierzy A o numerach nie należących do zbioru I i kolumn macierzy A o numerach nie należących do zbioru J.
Gdy I=J, minor [A]I,J nazywamy minorem głównym.
Minor główny stopnia k, w którym 
nazywamy wiodącym minorem głównym stopnia k.
Często używa się jednak nazwy minory główne dla określenia wiodących minorów głównych.
[edytuj] Przykład
Przyjmijmy macierz 
o 3 wierszach, 4 kolumnach, wyrazach z ciała liczb rzeczywistych.
Niech I = {1,3},J = {1,4}. Mamy:
![[A]_{I,J} = \begin{vmatrix}
1 & \not 3 & \not 4 & 2 \\
\not 0 & \not 3 & \not 1 & \not 1 \\
7 & \not 1 & \not 3 & 4
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
7 & 4
\end{vmatrix} = 1\cdot4 - 2\cdot7 = 4 - 14 = -10](../../../../math/9/4/3/9435bea0d853c8a74171911b2e1437da.png)
Powyższy minor nie jest minorem głównym, ponieważ 
. Minorem głównym jest na przykład minor: 
utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o numerach 2 i 3.
Wiodącymi minorami głównymi macierzy A są: 
, 
, 
.
[edytuj] Własności
- W każdej macierzy rzędu r>0 o wyrazach z ciała K istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia r, zaś każdy minor stopnia wyższego od r tej macierzy jest równy zeru ciała K.
- W macierzy kwadratowej stopnia n istnieje n wiodących minorów głównych.
- Macierz A jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie n wiodących minorów głównych macierzy A jest dodatnie.
