가군
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추상대수학에서, 환 상의 가군 혹은 모듈(module)이란, 체 상의 벡터공간의 개념을 확장한 것으로 볼 수 있다. 즉, 여기에서는 스칼라가 임의의 환의 원소가 될 수 있는 것이다. 따라서 가군은 벡터공간과 마찬가지로 아벨군의 구조를 갖는다. 이에 추가해 환의 원소와 가군의 원소 사이에 곱셈이 정의되며, 이 곱셈은 결합법칙과 분배법칙을 만족한다.
가군은 군의 표현론(representation theory)과 밀접한 연관이 있다. 또한 가군은 가환대수학과 호몰로지 대수학의 주요 대상이며, 대수기하학과 대수적 위상수학에서 중요하게 사용되고 있다.
[편집] 정의
R이 환일 때, 아벨군 (M, +)와 연산 R × M → M으로 이루어진 구조를 생각해 보자. 후자쪽의 연산을 '스칼라 곱'이라 하고 R의 원소 r와 M의 원소 x의 연산 결과를 보통 rx로 쓴다. 여기에서, 이 구조에서 R의 임의의 원소 r,s와 M의 임의의 원소 x,y에 대해 다음의 네 조건이 언제나 성립하면 이를 R-좌가군(left R-module)이라 한다:
- r(x+y) = rx+ry
- (r+s)x = rx+sx
- (rs)x = r(sx)
- 1x = x
여기에서 x를 rx로 보내는 연산 함수를 fr로 쓰고 r을 fr로 보내는 함수를 f로 나타내면, 위의 조건 1은 각 fr이 M에서 M으로의 군 준동형사상이라는 내용이 되고, 나머지 세 조건은 f가 R에서 자기준동형사상환 End(M)으로의 환 준동형사상이라는 내용이 된다. 따라서 가군은 아벨군에 환이 작용하는 것으로 볼 수 있으며, 이런 의미에서 보면 가군론은 군이 벡터공간에 작용하는 경우를 다루는 표현론을 일반화한 것이다.
위의 정의에서 엄밀하게는 R-좌가군은 아벨군과 스칼라 곱 연산으로 이루어진 구조이나, 많은 경우 그냥 M을 그 구조 전체와 동일시해서 R-좌가군이라 부르고, 이를 RM으로 표기한다. R-우가군(right R-module) MR은 스칼라 곱이 M × R에서 M으로의 연산이라서 M의 원소의 오른쪽에 R의 원소를 곱한다는 점을 제외하면 좌가군과 똑같은 방법으로 정의한다.
환의 정의에 단위원의 존재 조건을 포함시키지 않는 저자들은 위의 정의에서도 조건 4를 생략하고, 우리가 위에서 정의한 구조를 '좌단위가군'이라 부른다. 그러나 이 글에서는 모든 환은 단위원을 가지며 모든 가군은 조건 4를 만족시키는 것으로 한다.
좌가군인 동시에 우가군이고, 왼쪽과 오른쪽에서 행해지는 연산이 서로 어울릴 경우 이를 양쪽가군이라 한다.
R이 가환환일 때는 좌가군과 우가군은 아무 차이가 없으므로, 좌우 구분을 생략하고 그냥 단순히 R-가군이라고 한다.
[편집] 함께 보기
- 벡터공간
- 군환
- 대수 (환론)
[편집] 참고자료
- F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3
