力学的エネルギー

力学的エネルギー（りきがくてきエネルギー、Mechanical energy）とは、運動エネルギーと位置エネルギー（ポテンシャル）の和のことを指す。

保存力の場での質点の運動では力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和）が一定となる。これを、力学的エネルギー保存の法則（力学的エネルギー保存則）と言う。

これを式で書くと次のようになる。ただし、運動エネルギーを K 、ポテンシャルを U 、力学的エネルギーを E とする。

$K+U=E \,$

一般にこれが保存するとき(即ち、保存力のみが仕事をし、非保存力が仕事をしないとき)によく使われる概念である。エネルギーが保存する場合、エネルギーの総和は初期条件で決まる。運動エネルギー K は、

$K = \frac{m}{2}v^2 > 0$

なので、

$U = E - K < E \,$

となり、ポテンシャルの範囲が決まってしまう。ポテンシャルは位置に依存する量なので、これは運動の領域が決まることになる。ポテンシャルの概形が分かれば運動の様子がある程度推測できる。例えば、調和振動のポテンシャルは、

$\frac{k}{2}(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)^2$

である。( x₀ は振動中心の位置ベクトル)これは変位の二乗の形になっている。これを知っているならば、ポテンシャルの底が x² の形になっている場合は単振動をすることが分かる。単振り子のポテンシャルは三角関数で書ける。

$U = A(1 - \mathrm{cos}\theta) = A(\frac{\theta^2}{2}-\frac{\theta^4}{4!} + \cdots)$

十分に振幅が小さいときには単振動で近似できることが分かる。

力学的エネルギーは、熱力学での内部エネルギー（摩擦などを通してやりとりされる）や他のエネルギーに変わりうる。この場合、力学的エネルギーの保存は成立しなくなるが、エネルギー全体としては保存している。つまりこの場合は、より広義の意味でエネルギーは保存している（→エネルギー保存の法則）。

[編集] 力学的エネルギーの散逸

保存力でない力を非保存力という。非保存力が仕事をする場合、力学的エネルギーは保存しない。具体的な非保存力の例は、

動摩擦力

粘性抵抗力

慣性抵抗力

但し、 $v=\left| \mathbf{v} \right|$ 、 $\hat \mathbf{v}=\mathbf{v}/v$ である。

一般に非保存力fは、

と表される。(f(v)>0)

運動方程式

$m \dot \mathbf{v}= -\nabla U + \mathbf{f}$

である。この式の両辺に速度をかけると、

$m \dot \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}= -(\nabla U)\cdot \mathbf{v} + \mathbf{f} \cdot \mathbf{v}$

$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2) = -\frac{dU}{dt} - f(v)v$

$\frac{d}{dt}E = -f(v)v$

力学的エネルギーの時間変化率は、-f(v)vである。非保存力が仕事をすると、力学的エネルギーは必ず減少する。非保存力により力学的エネルギーが減少することをエネルギーの散逸という。