Redshift cosmologico

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Il redshift cosmologico è lo spostamento relativo in frequenza di un'onda elettromagnetica dovuto all'espansione dell'universo. Inizialmente lo spostamento verso il rosso veniva attribuito all'effetto Doppler, tramite la relazione

$z \approx \frac{v_r}{c}$

ma l'osservazione sperimentale di alcuni quasar con redshift compreso tra 5 e 6 ha smentito tale ipotesi. L'approssimazione del redshift come effetto Doppler è valida solo se $z < < 1$ . Il redshift cosmologico si spiega ipotizzando che le lunghezze d'onda varino allo stesso modo delle distanze per effetto dell'espansione dell'universo, ciò è verificato dal teorema del redshift.

[modifica] Ipotesi

Supponiamo che l'universo si stia espandendo, e che tutte le distanze varino secondo un fattore di scala $a (t)$ per cui possiamo ipotizzare

D = a (t) r

dove $r$ è la coordinata comovente, ovvero un tipo di coordinata che segue punto per punto l'espansione dell'universo.

[modifica] Teorema del redshift

Il teorema del redshift afferma che la lunghezza d'onda $λ$ è proporzionale al fattore di scala dell'universo.

Consideriamo la Metrica di Robertson - Walker

$ds^2= c^2dt^2 - a^2(t) \left[\frac{dr^2}{{1-k r^2 }} +r^2 (d\theta ^2 +\operatorname{sin}^2 d\phi^2 )\right ]$

dove $k$ è il parametro che identifica i tre diversi modelli di Friedman. Ora supponiamo di osservare un quasar posto ad una distanza comovente $r 1$ dalla terra (che assumiamo posta nel punto $r = 0$ ) e sotto i due angoli costanti $θ$ e $\varphi$ . In tali condizioni la metrica si riduce a

$ds^2 = c^2 dt^2 - a^2 (t) \frac{dr^2}{1 - kr^2}$

ora considerando che stiamo osservando un'onda elettromagnetica dobbiamo porre $d s 2 = 0$ ottenendo

$\frac{dt}{a(t)} = -\frac{dr}{\sqrt{1 - kr^2}} \qquad \quad (1)$

Ci conviene ora considerare due creste consecutive dell'onda elettromagnetica: la prima emessa ad un tempo $t 1$ e ricevuta ad un tempo $t 0$ , e la seconda emessa ad un tempo $t 1 + δ t 1$ e ricevuta ad un tempo $t 0 + δ t 0$

Integrando la (1) per le due creste separatamente otteniamo

$\int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{a(t)} = \int^{r_1}_0 \frac{dr}{\sqrt{1 - kr^2}} \equiv F(r_1)$

$\int_{t_1 + \delta t_1}^{t_0 + \delta t_0}\frac{dt}{a(t)} = \int^{r_1}_0 \frac{dr}{\sqrt{1 - kr^2}} \equiv F(r_1)$

Dal momento che gli integrali a secondo membro sono uguali possiamo eguagliare gli integrali al primo membro delle due espressioni:

$\int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{a(t)} = \int_{t_1 + \delta t_1}^{t_0 + \delta t_0}\frac{dt}{a(t)}$

$\int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{a(t)} = \int_{t_1}^{t_0}\frac{dt}{a(t)} + \int_{t_0}^{t_0 + \delta t_0}\frac{dt}{a(t)} - \int_{t_1}^{t_1 + \delta t_1}\frac{dt}{a(t)}$

$\int_{t_0}^{t_0 + \delta t_0}\frac{dt}{a(t)} = \int_{t_1}^{t_1 + \delta t_1}\frac{dt}{a(t)}$

A questo punto consideriamo il fatto che la variazione del fattore di scala è molto lenta nel tempo ( $\dot a / a <<1$ ) possiamo considerare il fattore di scala costante sia durante l'emissione delle due creste, sia durante la ricezione, e ottenere