Numero quadrato centrato

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Un numero quadrato centrato è un numero poligonale centrato che rappresenta un quadrato con un punto al centro e tutti gli altri attorno.

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I primi numeri quadrati centrati sono:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325.

L'n-esimo numero quadrato centrato è dato dalla formula:

$n 2 + (n - 1) 2$

cioè è la somma dei quadrati di due numeri successivi, come si può vedere graficamente dal seguente modello:

                        X
              0        X0X
      X      0X0      X0X0X
0    X0X    0X0X0    X0X0X0X
      X      0X0      X0X0X
              0        X0X
                        X

Un'altra formula, valida però solo per gli n dispari, è:

${{(n^2 + 1)} \over 2}$

Tutti i numeri quadrati centrati sono dispari, ed in base 10 l'ultima cifra segue il modello 1-5-3-5-1. Inoltre tutti i numeri quadrati centrati ed i loro divisori danno resto uno quando divisi per quattro. Da ciò deriva che tutti i numeri quadrati centrati ed il loro divisori finiscono con le cifre 1 o 5 in base 6, 8 o 12.