Metodo di Monge

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Proiezioni mongiane

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali o Metodo di Monge, dal matematico francese Gaspard Monge che lo ha introdotto, è un metodo di rappresentazione piana di un oggetto K ( sia 2d che 3d), fa parte della categoria delle proiezioni parallele e in particolare di quella delle proiezioni ortogonali), consiste nel fatto di proiettare i punti notevoli di K con direzioni ortogonali a due o più piani tra loro, due a due, ortogonali, detti piani di proiezione.

Indice

1 Elementi di riferimento
2 Proiezioni ortogonali degli enti geometrici fondamentali
3 Voci correlate
4 Collegamenti esterni

[modifica] Elementi di riferimento

Due piani di proiezione principali π₁ e π₂, il primo detto primo piano di proiezione con giacitura orizzontale, il secondo detto secondo piano di proiezione con giacitura verticale e disposto, ove possibile, in modo da essere parallelo alla facciata principale dell'oggetto K.
Due centri di proiezioni impropri con direzioni, rispettivamente, perpendicolari ai piani π₁ e π₂.

Il metodo è motivato dal fatto che le operazioni di costruzione geometrica eseguite in un piano sono meno impegnative rispetto a quelle eseguite nello spazio. Si procede ad ottenere le due proiezioni principali di un oggetto, dette comunemente pianta e prospetto, e successivamente, come presupposti del metodo di Monge, si ribalta il 2° piano di proiezione verticale π₂, in senso antiorario (vedi figura) in modo da farlo coincidere con il 1° piano di proiezione π₁.

[modifica] Proiezioni ortogonali degli enti geometrici fondamentali

[modifica] Proiezioni ortogonali di un punto

Immaginiamo un punto P come quello dell'angolo del tavolo posto in una stanza parallelipipedale e stabilito che i piani di proiezione sono, rispettivamente, il pavimento come primo piano di proiezione ed una parete verticale come secondo piano di proiezione, si ha che la prima proiezione ortogonale del punto P, simboleggiato P1, si determina come punto d'intersezione di una retta verticale con il primo piano di proiezione (pavimento) e la 2° P.O. del punto P, simboleggiato P2, si determina come piede della perpendicolare al secondo piano di proiezione e passante per P. (stub)

[modifica] Proiezioni ortogonali di una retta

Stabilito di avere nel primo diedro una retta genericamente inclinata r. Le proiezioni ortogonali di r si determinano, rispettivamente:

La prima proiezione ortogonale di r, detta in architettura pianta di r e simboleggiata r1, si determina come retta d'intersezione tra i piani π₁ e α; questo passa per r ed ha giacitura perpendicolare a π₁. In questo modo tale piano α viene detto piano proiettante in prima proiezione ortogonale.

La 2° P.O. di r, detta anche prospetto di r e simboleggiata r2, si determina come retta d'intersezione tra i piani π₂ e β; questo passa per r ed ha giacitura perpendicolare al secondo piano di proiezione π₂. Tale piano β viene detto piano proiettante in seconda proiezione ortogonale.

In considerazione del fatto che una retta viene considerata di lunghezza illimitata, per cui, in tutti i casi in cui è data una retta r, non giacente su nessuno dei piani π₁ e π₂, si ha che r interseca tali piani di proiezione in due punti T'r T"r, detti prima e seconda traccia di r. Ne consegue, rispettivamente, che r1 passa per T'r e per la prima proiezione della seconda traccia, ed r2 passa per T"r e per la seconda proiezione della seconda traccia.

Secondo l'inclinazione di una retta r rispetto ai piani di proiezioni principali, tale retta può avere diverse nomenclature.

[modifica] Nomenclature della retta

retta proiettante in prima proiezione ortogonale, un caso particolare di retta orizzontale che ha la stessa direzione del primo centro di proiezione, cioè ortogonale al primo piano di proiezione π₁;
retta proiettante in 2°P.O., un caso particolare di retta frontale che ha la stessa direzione del primo centro di proiezione, cioè ortogonale a π₂;
retta orizzontale, quando risulta // π₁;
retta frontale, quando risulta // π₂;
retta di profilo, quando // π₃;
retta parallela alla linea di terra, quando // alla retta d'intersezione tra i piani di proiezioni principali π₁ e π₂;

retta generica, quando risulta disposta in modo da non essere né parallela né perpendicolare ad alcun piano di proiezione π₁, π₂ e π₃.

Analogamente, vengono nominati anche i piani, sostituendo, nel sopraddetto elenco, la parola retta con il piano.

[modifica] Proiezione ortogonale di un segmento

Le proiezione ortogonali di un segmento A_B vengono rappresentati, anche, stabilendo, rispettivamente, la quota e l'aggetto dei propri estremi A B. Noto che la quota e l'aggetto di un punto A, sono le distanze minime di A rispetto ai piani di proiezione π₁ e π₂.

[modifica] Proiezioni ortogonali di un piano

Un piano alpha può essere individuato, nel metodo di Monge, quando si hanno, rispettivamente:

le tracce t'(alpha) e t"(alpha) che sono le rette d'intersezione tra alpha con i piani di proiezioni principali π₁ e π₂.
le proiezioni ortogonali di tre punti ABC non allineati.
le proiezioni ortogonali di una retta r ed un punto P, non appartiene ad r.