Matrice simmetrica

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In algebra lineare, una matrice simmetrica è una matrice quadrata che ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa. Quindi una matrice A è simmetrica quando:

o equivalentemente quando:

Le matrici reali simmetriche sono casi particolari di matrici hermitiane.

Indice 1 Esempi 2 Proprietà 2.1 Teorema spettrale 2.2 Matrici simmetriche e antisimmetriche 3 Esempi 4 Voci correlate

[modifica] Esempi

Le entrate di una matrice simmetrica sono simmetriche rispetto alla diagonale principale (che va dall'angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra). Ad esempio:

Ogni matrice diagonale è simmetrica, in quanto tutte le entrate all'esterno della diagonale principale sono zero.

[modifica] Proprietà

[modifica] Teorema spettrale

Uno dei teoremi basilari riguardanti tali matrici è il teorema spettrale finito-dimensionale, il quale afferma che ogni matrice simmetrica a valori reali può essere diagonalizzata tramite una matrice ortogonale.

[modifica] Matrici simmetriche e antisimmetriche

Data una matrice A, è possibile costruire una matrice simmetrica S tramite la formula:

S = (A + A^T) / 2

La formula seguente genera invece una matrice antisimmetrica T:

T = (A − A^T) / 2

Le tre matrici sono legate dalla relazione

A = S + T

che indica come ogni matrice possa decomporsi in una matrice simmetrica ed una antisimmetrica. La matrice trasposta di A è data da

A^T = S − T.

[modifica] Esempi

Gli oggetti seguenti sono particolari matrici simmetriche.

• Matrice di Hankel, matrice di Hilbert, matrice di Filbert
• Matrice di Toeplitz
• Matrice identità, matrice nulla
• Matrici hermitiane - generalizzazione delle matrici simmetriche per i numeri complessi

[modifica] Voci correlate

• Matrice antisimmetrica
• Matrice hermitiana
• Glossario sulle matrici