Funzione di produzione CES

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Le funzioni di produzione CES (dall'inglese Constant Elasticity of Substitution) sono una particolare classe di funzioni di produzione, caratterizzate da elasticità di sostituzione tra due suoi argomenti costante.

Questa classe di funzioni venne originariamente proposta da Kenneth Arrow, come generalizzazione delle proprietà delle funzioni di produzione à la Cobb-Douglas.

Esiste inoltre una classe di funzioni di utilità CES, avente la medesima forma algebrica delle funzioni di produzione qui esaminate.

Indice

1 Formulazione e proprietà
2 Esempi di funzione CES
3 Cobb-Douglas come caso particolare della CES
4 Note
5 Bibliografia
6 Voci correlate

[modifica] Formulazione e proprietà

[modifica] Forma generale

La forma generale di una funzione di produzione CES è:

$Q(x_1,x_2,..,x_n)=b \left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i x_i^{-\rho}\right)^{-\frac{1}{\rho}}, \ b >0,\ \rho > -1,\ \alpha_i \ge 0, \ x_i \ge 0, \ i=1,2,\ldots,n$

con $\sum_{i=1}^{n}\alpha_i = 1$ , dove:

x_i indica il livello di impiego del fattore di produzione i-esimo;
Q indica la quantità prodotta;
b (il parametro efficienza) è una costante moltiplicativa che dipende dal livello di efficienza nell'utilizzo dei fattori produttivi;
α_i (il parametro distribuzione) indica l'impatto del fattore di produzione i-esimo sulla produzione totale;
ρ (il parametro sostituzione) è collegato all'elasticità di sostituzione.^[1]

[modifica] Produttività marginale

La produttività marginale di i è data da:

$\frac{\partial Q}{\partial x_i} = b^{-\rho} \alpha_i \left ( \frac{Q}{x_i} \right )^{1+\rho}$

[modifica] Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica ed elasticità di sostituzione

Il saggio marginale di sostituzione tecnica (SMST) del fattore i con il fattore j, essendo uguale al rapporto tra le produttività marginali dei due fattori, è dato dunque da:

$SMST_{ji} = \frac{\partial Q/\partial x_i}{\partial Q/\partial x_j} = \frac{\alpha_i}{\alpha_j }\left (\frac{x_j}{x_i} \right )^{1+\rho}$

da cui deriva la seguente relazione:

$\log\frac{x_j}{x_i} = - \frac{1}{1+\rho} \log \frac{\alpha_i}{\alpha_j} + \frac{1}{1+\rho}\log SMST_{ji}$

$\frac{d \log \frac{x_j}{x_i}}{d \log SMST_{ji}} = \frac{1}{1+\rho}$ .

Poiché l'elasticità di sostituzione nella produzione è definita come la variazione percentuale del rapporto tra il livello di impiego di due fattori divisa per la variazione percentuale del loro prezzo relativo avremo:

$\sigma = \frac{\Delta \left(\frac{x_j}{x_i}\right)}{\left(\frac{x_j}{x_i}\right)} / \frac{\Delta \left(\frac{p_j}{p_i}\right)}{\left(\frac{p_j}{p_i}\right)} = \frac{d \log \frac{x_j}{x_i}}{d \log \frac{p_j}{p_i}}$

e poiché si assume che, in equilibrio, il saggio marginale di sostituzione tecnica uguaglia il prezzo relativo dei fattori abbiamo:

$\sigma = \frac{d \log \frac{x_j}{x_i}}{d \log SMST_{ji}} = \frac{1}{1+\rho}$

[modifica] Formulazione alternativa

In base all'equazione precedente si ha:

$\rho = \frac{1-\sigma}{\sigma}$

Formulazione alternativa ed equivalente della funzione CES è quindi:

$Q(x_1,x_2,..,x_n)=b \left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i x_i^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}$

Da notare che dall'equazione precedente può dedursi che, laddove l'elasticità di sostituzione sia minore di uno (σ < 1), l'output (Q) sarà nullo ogni qualvolta anche solo uno degli input (x) sia nullo. In tal caso dunque tutti gli input sono essenziali.^[2]

[modifica] Funzioni CES simmetriche e non simmetriche

Data la formulazione generale precedente, uguagliando SMST e costo relativo dei fattori^[3] si ha:

$x_j = \left ( \frac{p_i}{p_j}\frac{\alpha_j}{\alpha_i} \right )^\sigma x_i$

Se i parametri di distribuzione sono uguali (si ha cioè α_i = α_j per ogni i,j), la funzione di produzione CES viene detta simmetrica. In tal caso infatti, a prezzi uguali (p_i = p_j), corrisponde la stessa domanda condizionale di input (x_i = x_j).

La formulazione della funzione CES simmetrica è:

$Q = b \left(\sum_{i=1}^{n} x_i^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}}$

Per contrasto, nel caso in cui i pesi distributivi non sono gli stessi ( $\ \alpha_i \neq \alpha_j$ ), la funzione viene detta non simmetrica.

[modifica] Funzione di costo duale di una funzione di produzione CES

Data una funzione di produzione CES, la funzione di costo associata, cioè la funzione valore del problema di minimizzazione dei costi con vincolo costituito dalla funzione di produzione CES, in simboli:

$C(p_1,\ldots,p_n,q) = \min_{x_1,\ldots,x_n} \{ \sum_{i=1}^{n} p_i\ x_i\ \mid\ b \left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i x_i^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma-1}} \geq q\}$

è data da:

$C(P,q) = q\ P$

dove:

$P(p_1,\ldots,p_n) = \left ( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i^{\sigma} p_i^{1-\sigma} \right )^{\frac{1}{1-\sigma}}$

è un indice del livello generale dei prezzi dei fattori associato alla tecnologia CES.

Nel caso di funzione di produzione CES simmetrica, tale indice si riduce a:

$P(p_1,\ldots,p_n) = \left ( \sum_{i=1}^{n} p_i^{1-\sigma} \right )^{\frac{1}{1-\sigma}}$

[modifica] Elasticità della domanda condizionale di input

In base al lemma di Shephard, la domanda condizionale di un input è data dalla derivata parziale della funzione di costo rispetto al prezzo dell'input. In tal caso si ha dunque:

$\ x_i(p_1,\ldots,p_n,q) = \frac{\partial C}{\partial p_i} = q \left ( \frac{\alpha_i}{p_i} \right )^\sigma \left ( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i^{\sigma} p_i^{1-\sigma} \right )^{\frac{\sigma}{1-\sigma}} = q \left ( \frac{\alpha_i P}{p_i} \right )^\sigma$

L'elasticità della domanda condizionale di input sarà pari a:

$\ \epsilon = - \frac{\partial \log x_i}{\partial \log p_i} = \sigma \left ( 1- \left ( \frac{\alpha_i}{p_i} \right )^\sigma \frac{p_i}{\sum_{i=1}^{n} \alpha_i^{\sigma} p_i^{1-\sigma}} \right ) = \sigma \left ( 1- \left ( \frac{\alpha_i P}{p_i} \right )^\sigma \frac{p_i}{P}\right ) = \sigma \left ( 1- \frac{p_i x_i}{q P} \right )$

dove l'ultimo termine in parentesi non è altro che la quota dei costi affrontati per l'input i-esimo sul totale dei costi di produzione. Poiché tale quota tende a zero al crescere del numero degli input, nel caso in cui si abbiano molti input si avrà:

$\ \epsilon = \sigma \left ( 1- \frac{p_i x_i}{C} \right ) \backsimeq \sigma$

Questo accade perché l'impatto dell'aumento di prezzo del bene i-esimo sul livello generale dei prezzi degli input, data l'elasticità di sostituzione costante, diminuisce al crescere del numero di input.

Nel caso di funzioni di produzione CES (e delle Cobb-Douglas, che possono essere considerate una sottoclasse delle prime) σ rappresenta quindi sia l'elasticità di sostituzione, sia, quando il numero di input è sufficientemente grande, l'elasticità della domanda condizionale di input.

Figura 1: Funzione CES a due fattori con elasticità di sostituzione uguale a 2

Figura 2: Funzione CES a due fattori con elasticità di sostituzione uguale a 0.67

[modifica] Esempi di funzione CES

A titolo esemplificativo si riportano i grafici di due funzioni CES a due fattori.

Le funzioni sono del tipo:

$Q = b \left(\alpha L^{-\rho} + (1-\alpha) K^{-\rho} \right)^{-\frac{1}{\rho}}$

I valori dei parametri sono:

b = 3;
α = 0.6.

Nella prima funzione (Figura 1) ρ è posto uguale a -0.5; nella seconda (Figura 2) è invece uguale a 0.5. Le elasticità di sostituzione sono dunque nelle due funzioni uguali, rispettivamente, a 2 e 2/3.

L'intersezione delle funzioni con il piano (Q = 50) permette di osservare la curvatura degli isoquanti associati a quel livello di produzione nei due casi.

Come può notarsi gli isoquanti nel primo caso hanno una forma più "liscia". Questo indica una maggiore sostituibilità tra i due fattori. Nel primo caso, si assume cioè che una diminuzione dei lavoratori impiegati sia facilmente rimpiazzabile con un aumento delle macchine, cioè del capitale fisico, e viceversa.

[modifica] Cobb-Douglas come caso particolare della CES

La funzione di produzione Cobb-Douglas, che ha elasticità di sostituzione costante e unitaria, può essere considerata un caso particolare della CES.

Infatti, nonostante la funzione di produzione CES sia indefinita nel caso in cui ρ = 0, è possibile dimostrare che questa tende ad una Cobb-Douglas per ρ che tende a zero.

Trasformando la funzione in logaritmi otteniamo infatti:

$\log \frac{Q}{b} = -\frac{\log \left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha_i x_i^{-\rho} \right )}{\rho}$

Applicando la regola di L'Hopital si ha:

$\lim_{\rho \rightarrow 0} \log \frac{Q}{b} = \lim_{\rho \rightarrow 0} - \frac{ d \log \left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha_i x_i^{-\rho} \right ) / d \rho}{d \rho / d \rho} = \sum_{i=1}^n \alpha_i \log x_i = \log \left ( \prod_{i=1}^{n} x_i^{\alpha_i} \right )$

da cui:

$\lim_{\rho \rightarrow 0} Q = b \left ( \prod_{i=1}^{n} x_i^{\alpha_i} \right )$

[modifica] Note

^ La forma funzionale precedente implica l'assunzione di rendimenti di scala costanti. Laddove vogliano farsi ipotesi diverse circa i rendimenti di scala è necessario elevare tutta la funzione ad un parametro di scala ν. In tal caso la funzione stessa assume la forma:

$Q =b \left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i x_i^{-\rho}\right)^{-\frac{\nu}{\rho}}$

e la tecnologia CES sarà caratterizzata da rendimenti di scala:
- costanti se $\ \nu = 1$ ;
- crescenti se $\ \nu > 1$ ;
- decrescenti se $\ \nu < 1$ .
^ Per questo, nei modelli di crescita endogena à la Romer, in cui l'output del bene finale aumenta ad un tasso di crescita finito all'aumentare degli input intermedi, l'elasticità di sostituzione viene assunta sempre maggiore di uno (σ > 1).
^ L'uguaglianza di saggio marginale di sostituzione tecnica e costo relativo dei fattori è condizione di primo ordine nel problema di minimizzazione vincolata dei costi dato il vincolo costituito dalla tecnologia, rappresentata dalla funzione di produzione

[modifica] Bibliografia

Arrow, K.J.; Chenery, H.B.; Minhas, B.S. & Solow, R. "Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency", The Review of Economics and Statistics, 1961, August - l'articolo in cui venne originariamente proposta la funzione
Chiang, A. C. Introduzione all'Economia Matematica, Bollati Boringhieri, Torino, 2002
Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry (1995). Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1

[modifica] Voci correlate

Categorie: Economia matematica | Economia della produzione

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