Filtro a coseno rialzato
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Il filtro a coseno rialzato è un particolare tipo di filtro elettronico usato per scopi di sagomatura dell'impulso in sistemi di modulazione digitale, spesso scelto per la sua capacità di minimizzazione dell'interferenza intersimbolica (ISI).
Il nome discende dal fatto che la porzione non nulla del suo spettro frequenziale, per la sua forma più semplice con β = 1, è una funzione coseno, 'rialzata' sopra l'asse orizzontale delle frequenze.
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[modifica] Descrizione matematica
Il filtro a coseno rialzato realizza il filtro di Nyquist passa-basso, con la proprietà della simmetria vestigiale. Pertanto, il suo spettro possiede una simmetria dispari attorno a 
, ove T è il periodo di simbolo del sistema di comunicazioni.
La sua descrizione nel dominio della frequenza è fornita da una funzione a tratti data da:
![H(f) = \begin{cases}
T,
& |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\
\frac{T}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right],
& \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\
0,
& \mbox{altrove}
\end{cases}](../../../../math/8/2/1/821560532e8d6acff1760d8abb709827.png)
e caratterizzata da due valori; β, il fattore di rotolamento (roll-off), e T, il reciproco della frequenza di simbolo.
La risposta impulsiva di tale filtro è data da:
, in termini della funzione sinc normalizzata.
[modifica] Fattore di roll-off
Il fattore di roll-off, β, rappresenta una misura dell'eccesso di banda del filtro, cioè la banda occupata al di là della banda di Nyquist . Denotando con Δf l'eccesso di banda, allora:
ove 
è la frequenza di simbolo.
Il grafico mostra la risposta in ampiezza quando β viene fatto variare tra 0 e 1, e l'effetto corrispondente sulla risposta impulsiva. Come si può notare, il livello di ondulazione nel dominio del tempo cresce al diminuire di β. Ciò dimostra come sia possibile ridurre l'eccesso di banda del filtro alle spese di un allungamento della risposta impulsiva.
[modifica] β = 0
Quando β tende a 0, la zona di roll-off diventa sempre più stretta, quindi:
dove rect(.) è la funzione rettangolare, e la risposta impulsivatende al 
ideale. Pertanto, converge ad un filtro passa-basso ideale.
[modifica] β = 1
Quando β = 1, la parte non nulla dello spettro è un coseno rialzato puro, che conduce alla semplificazione:
![H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}
\frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right],
& |f| \leq \frac{1}{T} \\
0,
& \mbox{altrove}
\end{matrix} \right.](../../../../math/0/3/7/037fbf402017a2174c0b951e8b7ca485.png)
[modifica] Larghezza di banda
La banda di un filtro a coseno rialzato è comunemente definita come la larghezza di banda della porzione non nulla del suo spettro, cioè:
[modifica] Applicazioni
Quando viene utilizzato per filtrare un flusso di simboli, un filtro di Nyquist ha la proprietà di eliminare l'ISI, dato che la sua risposta impulsiva è nulla ad ogni nT (dove n è un numero intero), eccetto che per n = 0.
Di conseguenza, se la forma d'onda trasmessa è correttamente campionata al ricevitore, i valori originali dei simboli possono essere completamente recuperati.
Comunque, nella maggior parte dei sistemi di comunicazione utilizzati nella pratica, un filtro adattato deve essere usato al ricevitore, a causa degli effetti del rumore bianco. Questa condizione richiede il seguente vincolo:
cioè:
Per soddisfare questo vincolo pur continuando a fornire ISI nulla, un filtro a radice di coseno rialzato è usato, tipicamente, ad entrambi gli estremi del sistema di telecomunicazioni. In qquesto modo la risposta totale del sistema è a coseno rialzato.
[modifica] Bibliografia
- I. Glover; P. Grant (2004). Digital Communications (2a ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
- J. Proakis (1995). Digital Communications (3a ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.
[modifica] Collegamenti esterni
- - Articolo tecnico intitolato 'The care and feeding of digital, pulse-shaping filters', pubblicato da RF design.
