Equazioni cardinali dei sistemi

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Le equazioni cardinali descrivono il moto di sistemi meccanici complessi. Esse permettono di studiare il comportamento globale del sistema prescindendo da ciò che avviene per le sue singole componenti.

L'importanza delle equazioni cardinali è quella di semplificare la descrizione di un sistema, attraverso la riduzione dei suoi gradi di libertà. Un esempio notevole di applicazione è l'introduzione del modello di corpo rigido per la descrizione di oggetti macroscopici.

Indice

1 Prima equazione cardinale
- 1.1 Dimostrazione
2 Seconda equazione cardinale
3 Dimostrazione

[modifica] Prima equazione cardinale

La prima equazione cardinale descrive il moto traslatorio di un sistema. Un risultato importante dal punto di vista intuitivo è che il centro di massa si muove come un punto materiale di massa M pari alla massa totale del sistema e soggetto a una forza uguale alla risultante delle forze agenti. Essa prende la forma:

$\mathbf{F}=\frac{ \mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d}t}$

oppure equivalentemente:

$\mathbf{F}=M \mathbf{a}_{cm}$

dove

$\mathbf{F}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{F}_i\end{matrix}$ è la risultante delle forze agenti sul sistema
$\mathbf{P}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{p}_i\end{matrix}$ è la quantità di moto del sistema
$M=\begin{matrix}\sum_{i}^N m_i\end{matrix}$ è la massa totale del sistema

$\mathbf{a}_{cm}= \frac{\mathrm{d^2} \mathbf{r}_{cm}}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d^2}}{\mathrm{d} t^2} \left ( \frac{1}{M} \begin{matrix}\sum_{i}^N m_i \end{matrix} \mathbf{r}_{i} \right ) = \frac{1}{M}\begin{matrix}\sum_{i}^N \end{matrix}m_i \frac{\mathrm{d^2} \mathbf{r}_{i}}{\mathrm{d}t^2}$ è l'accelerazione del centro di massa

Si può osservare che ponendo F=0 (equivalente alla richiesta che un sistema risulti isolato) si trova che la quantità di moto del sistema è costante. Questo teorema prende il nome di legge di conservazione della quantità di moto.

[modifica] Dimostrazione

Assumendo che le masse non varino nel tempo, si può scrivere:

$\mathbf{F}=\sum_{i}^N m_i \mathbf{a}_i=\sum_{i}^N m_i \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t}$

che è una scrittura compatta della prima equazione cardinale. Si potrebbe anche scrivere:

$\mathbf{F}=M\frac{\sum_{i}^N\mathbf{F}_i}{M}=M\mathbf{a}_{cm}$

Questa seconda forma presenta il vantaggio di mettere in evidenza la massa totale M del sistema e l'accelerazione del centro di massa.

[modifica] Seconda equazione cardinale

La seconda equazione cardinale descrive il moto rotatorio del sistema:

$\mathbf{M}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d}t} + \mathbf{V}_{\Omega}\times \mathbf{P}$

dove

$\mathbf{M}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{F}_i\end{matrix}$ è il momento meccanico totale che agisce sul sistema
$\mathbf{L}=\begin{matrix}\sum_{i}^N \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i\end{matrix}$ è il momento angolare del sistema
$\mathbf{P}=\begin{matrix}\sum_{i}^N\mathbf{p}_i\end{matrix}$ è la quantità di moto
$\mathbf{R}_{\Omega}$ e $\mathbf{V}_{\Omega}$ sono rispettivamente la posizione e la velocità del polo (nome che diamo al punto arbitrario rispetto al quale si calcola il momento angolare)

Nel caso in cui la velocità del polo sia nulla l'equazione assume la forma semplificata:

$\mathbf{M}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$

Anche in questo caso si osserva che ponendo M=0 ritroviamo il risultato importante della conservazione del momento angolare.

[modifica] Dimostrazione

Si calcola il momento angolare di un sistema di punti materiali rispetto a un polo $Ω$ . Chiamiamo $R' i = R i - R Ω$ la posizione del punto i-esimo nel sistema di riferimento del polo.

$\mathbf{L}_{\Omega}= \sum_{i}^N \mathbf{R'}_i \times \mathbf{p}_i$

Ora lo deriviamo rispetto al tempo. Si fa uso della regola di derivazione del prodotto di funzioni.

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_{\Omega}}{\mathrm{d}t}= \sum_{i}^N \left[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{R'}_i}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{p}_i + \mathbf{R'}_i \times \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_i}{\mathrm{d}t}\right] = \sum_{i}\left[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{R}_i}{\mathrm{d}t}\times \mathbf{p}_i \right] - \sum_{i}\left[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{R}_{\Omega}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{p}_i\right] + \mathbf{M}$

Si osserva che il primo dei tre termini è $\begin{matrix} \sum_{i} \frac{1}{m_i} \left( \mathbf{p}_i \times \mathbf{p}_i \right) \end{matrix}=0$ , per le proprietà dei prodotti vettoriali. Il secondo termine è:

$\sum_{i}\left[ \frac{\mathrm{d}\mathbf{R}_{\Omega}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{p}_i\right] = \mathbf{V}_{\Omega} \times \sum_i \mathbf{p}_i= \mathbf{V}_{\Omega} \times \mathbf{P}$