Euler-képlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az Euler-képlet, amelyet Leonhard Eulerről neveztek el a komplex analizis egy formulája, mely megmutatja, hogy szoros kapcsolat van a szögfüggvények és a komplex exponenciális függvény között. (Az Euler-összefüggés az Euler-képlet egy speciális esete.)

Az Euler-képlet azt állítja, hogy minden valós x számra igaz:

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \!$

ahol

$e \,$ az Euler-féle szám, a természetes logaritmus alapja (=2,71828 ...)

$i = \sqrt{-1}\,$ az imaginárius egység

Richard Feynman az Euler-képletet „becses szellemi drágakő”-nek és „a matematika egyik legfigyelemreméltóbb összefüggésé”-nek nevezte. ^[1]

Tartalomjegyzék

1 Története
2 Alkalmazás a komplex számok elméletében
3 Kapcsolata a trigonometriával
4 Más alkalmazások
5 Bizonyítások
6 Hivatkozások

[szerkesztés] Története

Az Euler-képletet először 1714-ben Roger Cotes bizonyította az alábbi alakban:

$\ln(\cos(x) + i\sin(x))=ix \$

(ahol "ln" a természetes alapú logaritmust jelenti vagyis az e alapú logaritmust)^[2].

Euler volt az első, aki jelenlegi alakjában tette közzé 1748-ban, és a bizonyítást arra alapozta, hogy a két oldal végtelen sorai egyenlőek.

Egyikük sem vette észre a képlet geometriai interpretációját: a komplex számokra, mint a komplex sík geometriai pontojaira csak mintegy 51 évvel később Caspar Wessel gondolt.

[szerkesztés] Alkalmazás a komplex számok elméletében

A képlet úgy interpretálható, hogy az e^ix egy egységsugarú kört rajzol ki a komplex számok síkján, ahogy x az összes valós számot végigpásztázza. Itt x az a szög, mely a pozitív valós tengely és a pontot az origóval összekötő egyenessel bezár (radiánban).

Az eredeti bizonyítás az e^z exponenciális függvény (ahol z komplex szám) és a valós argumentumú sin x valamint a cos x szögfüggvény Taylor-sorba fejtésén alapul. (Lásd lejjebb).

Az Euler-képletet arra is lehet használni, hogy a komlex számokat polárkoordinátás alakban ábrázoljuk. Minden z = x + iy komplex szám felírható így:

$z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,$

$\bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,$

ahol

$x = \mathrm{Re}\{z\} \,$ a valós rész,

$y = \mathrm{Im}\{z\} \,$ a képzetes rész

$|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ pedig z abszolút értéke,

és $\phi \$ , a z– argumentuma, a szög az x tengely és a z vektor között. A szög pozitív értéke az óramutató járásával ellenkező irányú, és radiánban mérjük.

Az Euler-képlet segítségével definiálható a komplex szám logaritmusa is. Használjuk fel ehhez az alábbi azonosságokat:

$a = e^{ln (a)}\,$

és

$e^a e^{b} = e^{a + b}\,$

mindkettő igaz bármely a és b komplex számra, így írható:

$z=|z| e^{i \phi} = e^{\ln |z|} e^{i \phi} = e^{\ln |z| + i \phi}\,$

minden $z\ne 0$ -ra. Mindkét oldal logaritmusát véve:

$\ln z= \ln |z| + i \phi.\,$

és valóban ezt a komplex logaritmus definíciójaként lehet használni. Egy komplex szám logaritmusa ezért többértékű függvény, mivel $\phi \,$ többértékű.

Végül a másik exponenciális összefüggés:

$(e^a)^k = e^{a k}, \,$

melyről be lehet látni, hogy minden k egész számra igaz és az Euler-képlet néhány trigonometriai azonosságot eredményez, mint például a de Moivre képlet.

[szerkesztés] Kapcsolata a trigonometriával

Az Euler-képlet szoros kapcsolatot teremt a matematikai analízis és a trigonometria között és lehetővé teszi a szinusz és koszinusz függvényeknek az exponenciális függvény súlyozott összegeként való értelmezését:

$\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}$

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.$

Ezt a két egyenletet az alábbi Euler-képletek összeadásával és kivonásával

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \;$

$e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;$

majd egyiket koszinuszra és szinuszra megoldva lehet levezetni.

Ezek a kifejezések akár a szögfüggvények definíciós képletei is lehetnek komplex x argumentumokra. Például, ha x = iy, ezt kapjuk:

$\cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y)$

$\sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = i \sinh(y).$

[szerkesztés] Más alkalmazások

Differenciálegyenleteknél az e^ix függvényt gyakran a dereiválások egyszerűbb alakra hozásához használják, különsen, ha a végső megoldás szögfüggvényeket tartalmazó valós függvény. Az Euler-összefüggés az Euler-képletből könnyen levezethető.

Az elektrotechnikában és más területeken az időben periódikusan változó jeleket gyakran a szinusz és koszinusz függvények kombinációjaként írják le (lásd Fourier-analízis), és ezeket kényelmesebb képzetes kitevőjű exponenciális függvények calós részeként kifejezni az Euler-képlet segítségével. Áramkörök fázis analízisénél is az Euler képlet segítségével könnyű tárgyalni a kapacitások és impedanciák figyelembevételét.

[szerkesztés] Bizonyítások

[szerkesztés] Taylor-sor felhasználásával

A következő bizonyítás a Taylor-sorokat és az i hatványainak egyszerű összefüggéseit használja fel:

$\begin{align} i^0 &{}= 1, \quad & i^1 &{}= i, \quad & i^2 &{}= -1, \quad & i^3 &{}= -i, \\ i^4 &={} 1, \quad & i^5 &={} i, \quad & i^6 &{}= -1, \quad & i^7 &{}= -i, \\ \end{align}$

és így tovább. Az e^x, cos(x) és sin(x) függvényt (feltéve, hogy x valós szám) az origón kifejtett Taylor-sorával lehet felírni:

$\begin{align} e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\ \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{align}$

Komplex z-re ezeket a függvényeket a fenti sorokkal definiáljuk azzal, hogy x helyébe z-t írunk. Ez azért lehetséges, mert mindkét sor konvergenciatartománya végtelen. Ebből következik:

$\begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos (z) + i\sin (z) \end{align}$

A kifejezések átrendezése igazolható, mivel mindegyik sor abszolút konvergens. z = x felvételével az eredeti azonosságot kapjuk abban a formában, ahogy Euler felfedezte.

[szerkesztés] Deriválás felhasználásával

Definiáljuk a $f$ függvényt a következőképpen:

$f(x) = \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}. \$

Ez lehetséges, mivel az

$e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1 \$

egyenlet magába foglalja, hogy $e i x$ sohasem zéró.

Az $f$ deriváltja a törtfüggvények deriválási szabálya szerint:

$\begin{align} f'(x) &{}= \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{(-1 - i^2) \cdot \sin x \cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{(-1 - (-1)) \cdot \sin x \cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= 0. \end{align}$

Ennélfogva az $f \$ -nek konstans függvénynek kell lennie. Így

$\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1.$

Átrendezve:

$\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix} .$

Q.E.D.

[szerkesztés] Közönséges differenciálegyenletek felhasználásával

Definiáljuk a g(x) függvényt az alábbiak szerint:

$g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{ix} .\$

Figyelembe véve, hogy i állandó, g(x) első és második deriváltja

$g'(x) = i e^{ix} \$

$g''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \$

mivel definíció szerint i ² = −1. Ebből az alábbi lineáris másodrendű közönséges differenciálegyenlet szerkeszthető:

$g''(x) = -g(x) \$

vagy

$g''(x) + g(x) = 0. \$

Ezt a differenciálegyneletet két lineárisan független megoldás elégíti ki:

$g_1(x) = \cos(x) \$

$g_2(x) = \sin(x). \$

Mind a cos(x), mind a sin(x) valós függvény, melynek második deriváltja egyenlő az eredeti függvény -1-szeresével. A megoldások bármely lineáris kombinációja is megoldás, így a differenciálegyenlet általános megoldása:

$g(x)\,$	$= A g_1(x) + B g_2(x) \$
	$= A \cos(x) + B \sin(x) \$

tetszőleges A és B esetén. Azonban ennek a két állandónak nem minden értéke elégíti ki a g(x) függvény alábbi kezdeti feltételeit:

$g(0) = e^{i0} = 1 \$

$g'(0) = i e^{i0} = i \$ .

Behelyettesítve az általános megoldást a kezdeti feltételekbe:

$g(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A \$

$g'(0) = -A \sin(0) + B \cos(0) = B \$

kifejezhető az állandók értéke:

$g(0) = A = 1 \$

$g'(0) = B = i \$

és végül:

$g(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x). \$

Q.E.D.

[szerkesztés] Hivatkozások

^ R.P.Feynman, R.B.Leighton, M.Sands: Mai fizika, 2., Relativisztikus mechanika. Forgó- és rezgőmozgás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985, 88.old.
^ John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.

Kategória: Analízis

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.