קטגוריה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, קטגוריות מאפשרות לנסח באופן פורמלי רעיונות המערבים אובייקטים אבסטרקטים ותהליכים המשמרים את המבנה של אובייקטים אלו. קטגוריות מופיעות בכל אחד מענפי המתמטיקה והן מהוות דרך מרכזית לאחד את ענפי המתמטיקה השונים תחת מסגרת כוללת. העיסוק בקטגוריות כאובייקטים בפני עצמן נקרא תורת הקטגוריות.

[עריכה] הגדרה פורמלית

קטגוריה $\mathcal C$ מורכבת מהמידע הבא:

מחלקה $Ob(\mathcal C)$ של עצמים (או אובייקטים)
לכל זוג אובייקטים $a,b \in Ob(\mathcal C)$ קבוצה $\mbox{Hom}(a,b)\,$ (מסומנת לעתים $\mbox{Mor}(a,b)\,$ ) הנקראת קבוצת המורפיזמים מ-a ל-b. מורפיזם $f\in \mbox{Hom}(a,b)$ מסומן בדרך כלל על ידי $f:a\rightarrow b$ .
לכל שלושה אובייקטים a, b ו-c, קיים אופרטור בינארי $\,\mbox{Hom}(a,b) \times \mbox{Hom}(b,c) \rightarrow \mbox{Hom}(a,c)$ הנקרא הרכבת מורפיזמים. הרכבת המורפיזמים $\,f:a \rightarrow b$ ו- $\,g:b \rightarrow c$ מסומנת על ידי $\,g \circ f$ או פשוט $gf\,$ .

כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:

(אסוציאטיביות) אם g : b → c, f : a → b ו- h : c → d אז מתקיים h o (g o f) = (h o g) o f, וגם
(קיום יחידה) לכל אובייקט x, קיים מורפיזם יחיד 1_x : x → x המכונה מורפיזם היחידה של x, כך שעבור כל מורפיזם f : a → b מתקיים: 1_b o f = f = f o 1_a.

קטגוריה נקראת קטגוריה קטנה אם המחלקה $Ob(\mathcal C)$ היא קבוצה. לעתים מכונים המורפיזמים של קטגוריה בשם חיצים.

[עריכה] דוגמאות

קטגורית הקבוצות Set. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל הקבוצות. בהינתן שתי קבוצות $a, b$ הקבוצה (Hom(a,b היא קבוצת כל הפונקציות מ-a ל b. הרכבת מורפיזמים היא הרכבת פונקציות.
קטגורית החבורות Grp. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל החבורות. הקבוצה (Hom(a,b היא קבוצת כל ההומומורפיזמים מ-a ל b.
קטגורית החבורות האבליות Ab. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל החבורות האבליות, והמורפיזמים הם הומומורפיזמים של חבורות אבליות.
הקטגוריה Top. מחלקת האובייקטים היא מחלקת כל המרחבים הטופולוגים. המורפיזמים הם פונקציות רציפות בין מרחבים טופולוגים.

[עריכה] סוגי מורפיזמים

מורפיזם $f:a \rightarrow b$ נקרא:

מונומורפיזם אם לכל אובייקט x ולכל זוג מורפיזמים $\ g_1, g_2 :x \rightarrow a$ , אם מתקיים $\ f \circ g_1 = f \circ g_2$ אז $\ g_1 = g_2$ .
אפימורפיזם אם לכל אובייקט x ולכל זוג מורפיזמים $\ g_1, g_2:b \rightarrow x$ , אם מתקיים $\ g_1 \circ f = g_2 \circ f$ אז $\ g_1 = g_2$ .
איזומורפיזם אם קיים לו מורפיזם הופכי. במילים אחרות, אם קיים מורפיזם $g:b \rightarrow a$ כך ש $\ f \circ g = 1_b$ ו- $\ g \circ f = 1_a$ .

לדוגמה, בקטגוריית החבורות, מונומורפיזם הוא בדיוק הומומורפיזם חד חד ערכי. אפימורפיזם הוא בדיוק הומומורפיזם על.

[עריכה] סוגי אובייקטים

[עריכה] אובייקט אפס

אובייקט $a\in Ob(C)$ נקרא:

אובייקט התחלתי (initial) אם לכל אובייקט $x \in Ob(C)$ קיים בדיוק מורפיזם אחד $f:a \rightarrow x$ .
אובייקט סופי (terminal) אם לכל אובייקט $x \in Ob(C)$ קיים בדיוק מורפיזם אחד $f:x \rightarrow a$ .
אובייקט אפס אם הוא גם התחלתי וגם סופי.

לדוגמה, בקטגוריית הקבוצות, הקבוצה הריקה היא אובייקט התחלתי, בעוד כל יחידון (קבוצה בעלת איבר אחד, לא להתבלבל עם מונואיד) היא אובייקט סופי. בקטגוריית החבורות, כל חבורה טריוויאלית היא אובייקט אפס. ראוי להדגיש שאף שכל שתי חבורות טריוויאליות הן איזומורפיות, בקטגורית החבורות ישנם אינסוף חבורות טריוויאליות שונות, האיזומורפיות זו לזו.

קטגוריות: מתמטיקה | תורת הקטגוריות | אלגברה הומולוגית

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

קטגוריה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה פורמלית

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] סוגי מורפיזמים

[עריכה] סוגי אובייקטים

[עריכה] אובייקט אפס

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות