מכפלה (תורת הקטגוריות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון מכפלה קרטזית של קבוצות, מכפלה ישרה של חבורות, מכפלה של מרחבים טופולוגים וכו'. במהותה, מכפלה של זוג אובייקטים היא "האובייקט הכללי ביותר" שיש ממנו מורפיזם לכל אחד מזוג האובייקטים.

[עריכה] הגדרה

נניח כי C היא קטגוריה וכי $\,\{X_i|i \in I\}$ היא משפחה של אובייקטים בC. המכפלה של הקבוצה $\,\{X_i\}$ היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים $\,\pi_i:X\rightarrow X_i$ (הנקראות ההטלות הקנוניות, שהן לעתים קרובות, אם כי לא תמיד אפימורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים $\,f_i:Y\rightarrow X_i$ קיים מורפיזם יחיד $\,f:Y\rightarrow X$ כך שלכל $\,i \in I$ מתקיים $f_i = \pi_i \circ f$ . במילים אחרות, לכל i הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית:

אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב $\,X_1 \times X_2$ , ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה:

התכונה האוניברסלית של מכפלת זוג אובייקטים

המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעתים ב<f₁,f₂>.

[עריכה] דוגמאות

בקטגוריה של קבוצות, המכפלה היא פשוט מכפלה קרטזית של אוסף הקבוצות. בהינתן משפחה של קבוצות X_i, המכפלה מוגדרת על ידי:

$\prod_{i \in I} X_i := \{(x_i)_{i \in I} | x_i \in X_i \, \forall i \in I\}$

וההטלות הקנוניות הן

$\pi_j : \prod_{i \in I} X_i \to X_j \mathrm{ , } \quad \pi_j((x_i)_{i \in I}) := x_j$

בהינתן קבוצה כלשהי Y ואוסף של פונקציות

$\,f_i : Y \to X_i$

המורפיזם האוניברסלי f נתון על ידי

$f:Y \to \prod_{i \in I} X_i \mathrm{ , } \quad f(y) := (f_i(y))_{i \in I}$

בקטגוריה של מרחבים טופולוגים, המכפלה נתונה על ידי מכפלה של מרחבים טופולוגים. כקבוצה, המכפלה שווה למכפלה הקרטזית של הקבוצות מהן מורכבים המרחבים הטופולוגים, והטופולוגיה היא הטופולוגיה החלשה ביותר בה ההטלות הן פונקציות רציפות. ההטלות הן, שוב, כמו בקטגוריה של קבוצות, ועקב בחירת הטופולוגיה על המכפלה הן מהוות פונקציות רציפות, ולפיכך מורפיזמים בקטגוריה של מרחבים טופולוגים.

[עריכה] קיום ויחידות

לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה $\,\{X_i\}$ מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם $\,\pi_i:X\rightarrow X_i$ ו- $\,\pi'_i:X'\rightarrow X_i$ הן זוג מכפלות של המשפחה $\,\{X_i\}$ אז קיים איזומורפיזם יחיד $\,f:X\rightarrow X'$ כך ש $\,\pi_i=\pi'_i\circ f$ .