מודל בלק ושולס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מסחר באופציות ונגזרים בבורסת שיקגו

מודל בלק ושולס הינו מודל כלכלי-מתמטי, שנועד למצוא תשובה הולמת לשאלת תמחורן של אופציות. המודל כולל בתוכו את הנוסחה של בלק ושולס, שנותנת תשובה מספרית מדויקת לשאלה זו. המודל פותח על ידי המתמטיקאי פישר בלק וחבריו הכלכלנים: מיירון שולס ורוברט סי. מרטון. שני האחרונים אף זכו בפרס נובל לכלכלה לשנת 1997. בלק נפטר בשנת 1995 .

תוכן עניינים

1 רקע
2 הנחות המודל
3 ההיגיון שבבסיס המודל
- 3.1 מודל בינומי חד תקופתי
- 3.2 אסטרטגיה חסרת סיכון
4 המודל המתמטי - הנוסחה
- 4.1 אופצית Call אירופית
- 4.2 אופצית Put
5 שימושי המודל
6 ביקורת על המודל
7 הפניות
8 קישורים חיצוניים

[עריכה] רקע

מודל של התנהגות ניירות ערך פותח כבר בשנת 1900 על ידי המתמטיקאי הצרפתי לואי בשליה(Louis Bachelier) שניסה במאמרו "תאוריית הספקולציה" (Théorie de la spéculation) לנתח התנהגות של מחירי אופציות בבורסת פריז באמצעות תנועה בראונית. העבודה של בשליה לא זכתה להד, אולם הוא היה הראשון שעסק בשטח של מתמטיקה פיננסית.

עם התפתחות המסחר בשווקי ההון בעולם בסוף שנות הששים של המאה העשרים, נוצר מצב בו משקיעים רבים שהשקיעו בנגזרים (נכסים המושפעים ממחירו של נכס בסיסי מסוים כמו מניות וסחורות. המונח כולל בין היתר אופציות, חוזים עתידיים, כתבי אופציות), התלבטו בשאלת התמחור לאותם נכסים פיננסיים.

בתחילת שנות השבעים נפגשו באוניברסיטת שיקגו מיירון שולס ופישר בלק והחלו לעבוד על פיתוח מודל שייתן פתרון לבעיה. הם פרסמו בשנת 1973 את המאמר "תמחור אופציות והתחייבויות תאגידיות" (The Pricing of Options and Corporate Liabilities). רוברט מרטון,עמיתם, פרסם בסמוך מאמר אחר: "התאוריה של תמחור רציונלי של אופציות" ובו התייחס למאמרם של השניים.מרטון הוא שנתן לנוסחה את שמה אף על פי שתרומתו שלו למודל לא הייתה פחותה.

[עריכה] הנחות המודל

מודל בלק ושולס מציג שורה של הנחות יסוד שרק בהתקיימן המודל תקף.

המסחר בבורסה רציף. הנחה זו מאפשרת יצירת תיק חסר סיכון על ידי יצירת יחס ניטרול סיכון (Hedge)
אין עמלות (הוצאות עסקה) ומיסים.
מותרת המכירה בחסר (short)
אין חלוקת דיבידנדים
ניתן ללוות ולהלוות בשער ריבית חסר סיכון קבוע
השינויים בשער המניה נקבעים על פי תנועה בראונית גאומטרית.

[עריכה] ההיגיון שבבסיס המודל

המודל המתמטי של בלק ושולס מסובך וקשה להבנה לחסרי רקע במתמטיקה גבוהה. הוא כולל שימוש במשוואות דיפרנציאליות חלקיות. הדרך הפשוטה והמקובלת להסביר את המודל היא באמצעות המודל הבינומי החד תקופתי והרב תקופתי.

[עריכה] מודל בינומי חד תקופתי

בדוגמה שלהלן:

התוצאה הנדרשת - שווי האופציה להיום, בהסתמך על הנתונים הבאים:

מחיר המניה הנוכחי הוא 50 שקל (50= S).
קיימת אופצית Call עם תוספת מימוש של 50 שקל(50=K) לתקופה אחת (חודש אחד למשל).
שער הריבית לחודש הוא 5%.

קיימים שני מצבי טבע (מכאן השם:בינומי) :

מצב טבע 1: בסוף התקופה שער המניה יהיה 100 שקל

או

מצב טבע 2: בסוף התקופה שער המניה יהיה 25 שקל.

שווי האופציה הנגזר בתום התקופה

במצב טבע 1 שווי האופציה בסוף התקופה יהיה 50 שקל(מחזיק האופציה יוסיף 50 שקל (גובה תוספת המימוש) ויקבל מניה בשווי 100 שקל.)
במצב טבע 2 שווי האופציה יהיה אפס (לא כדאי לממשה).

[עריכה] אסטרטגיה חסרת סיכון

המשקיע "הבינומי" הדמיוני בונה לעצמו אסטרטגיית השקעה חסרת סיכון . בבסיס האסטרטגיה מונח העיקרון שבסוף התקופה מצבו יהיה זהה בשני מצבי הטבע, בלתי תלוי במחיר המניה. המשקיע נוקט באסטרטגיה הבאה: הוא מוכר("כותב") 3 אופציות CALL,קונה 2 מניות,ולוקח הלוואה בסך 47.62 שקל .

תזרים המזומנים הנוכחי של המשקיע הוא 3C - 100 + 47.62

(C היא אופצית ה- CALL שמחירה הנוכחי לא ידוע)

תזרים המזומנים העתידי

במצב טבע 1: עליו לקנות בחזרה 3 אופציות ששוויין 3*50=150 שקל, ולהחזיר הלוואה בשווי 50 שקל (47.62 ועוד ריבית של 5%). מנגד ברשותו שתי מניות בשווי 2*100=200 שקל. תזרים המזומנים הכולל שלו הוא אפס.
במצב טבע 2: שווי האופציות הוא אפס. ברשותו 2 מניות בשווי 2*25=50 שקל, ועליו להחזיר הלוואה בגובה 50 שקלים. שוב, תזרים המזומנים הוא אפס.

בשני מצבי הטבע,נותר מצבו של המשקיע זהה, ללא תלות במחיר המניה. לכן זוהי אסטרטגיה חסרת סיכון. בשני המקרים תזרים המזומנים העתידי הוא אפס. מכאן ששווי תזרים המזומנים הנוכחי של המשקיע שווה אף הוא לאפס.

0 =3C - 100 + 47.62

מכאן נגזר שווי האופציה להיות C=17.46

הערות :

אם תזרים המזומנים הנוכחי הוא חיובי, כלומר מחיר האופציה בשוק גבוה יותר משוויה, (למשל 20 שקלים) כי אז קל להראות שכל משקיע רציונלי ינקוט באסטרטגיה זו, קרי ימכור אופציות ויקנה מניות. אם התזרים שלילי, כלומר מחיר האופציה בשוק נמוך יותר משוויה, כל משקיע ינקוט באסטרטגיה ההפוכה. ארביטראז' בשוק יביא לשינוי במחירים עד שהתזרים יתאפס.
יחס הגידור (Hedge ratio) או יחס ניטרול הסיכון הוא היחס בין כמות המניות הנקנית לכמות האופציות הנמכרת, שהוא במקרה דנן ²/₃ (קניית שתי מניות וכתיבת שלוש אופציות).

המודל הבינומי הרב תקופתי

המודל הרב תקופתי מתייחס למספר תקופות, לכל תקופה שני מצבי טבע, כאשר העיקרון זהה: המשקיע הדמיוני נוקט באסטרטגיה חסרת סיכון. לכל תקופה נקבע ערך האופציה העתידי לכל מצב טבע אפשרי, וברקורסיה מחושב ערך האופציה בהווה. מודל בלק ושולס מניח, במקום שני מצבי טבע ומספר תקופות סופי, את קיומה של התפלגות נורמלית של מחירי המניות וכן קיומו של מסחר רציף, כלומר אינסוף תקופות.

[עריכה] המודל המתמטי - הנוסחה

[עריכה] אופצית Call אירופית

בהינתן :

S - שער המניה

K - תוספת המימוש

T - מספר התקופות לפקיעה

r - שער הריבית

סיגמא - סטיית התקן של המניה

אזי על פי מודל בלק-שולס ערכה של אופצית קול הוא:

$C(S,T) = S\Phi(d_1) - Ke^{-rT}\Phi(d_2) \,$

כאשר

$d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$

$d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} = d_1 - \sigma\sqrt{T}.$

$Φ$ הוא ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית

[עריכה] אופצית Put

מחירה של אופצית פוט מקבילה:

$P(S,T) = Ke^{-rT}\Phi(-d_2) - S\Phi(-d_1). \,$

[עריכה] שימושי המודל

מודל בלק ושולס משמש במגוון תחומים:

תפקידו המקורי היה לסייע לענפי הפיננסים לתמחר אופציות,ואכן בכל טור בעיתונות הכלכלית מופיעים הערכים לפי בלק ושולס
עובדים רבים בענפי ההיי-טק מתוגמלים באופציות. יש אפשרות מעשית להערכת שווי התיגמול על ידי שימוש במודל .
בחשבונאות קיים שימוש בנוסחה להערכת נכסים פיננסיים

[עריכה] ביקורת על המודל

יש לשכתב ערך זה
הסיבה לכך: שפה מקצועית מדי בפיסקה זו. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

מודל בלק ושולס מיועד לתימחור אופציות מסוג Call שהינן אופציות שבמימושן לא משתנה הון המניות של החברה, וזאת להבדיל מכתבי אופציות שהן אופציות שעם מימושן גדל הון המניות של החברה ותמורת המימוש נכנסת לקופת החברה.

על מנת להתאים את מודל בלק ושולס לתימחור כתבי אופציות פיתחו דן גלאי ומאיר שנלר מודל נוסף שיתאים לכתבי אופציות.

ע"פ המודל א. יש להכפיל את שווי האופציה במקדם דילול ההון כתוצאה מהנפקת כתבי האופציות, וזאת ע"פ נוסחה של הכפלת שווי אופצית ה Call במקדם הדילול N/N+n - כאשר N הוא מספר המניות של החברה ו n הוא מספר כתבי האופציות

ב. יש לתקן את תחשיב השונות המוצב מאחר שיש לבחון מחדש את שונות המניה על פי מקדם הדילול של האופציות.

יצויין כי התיקונים של גלאי ושנלר מותנים בהנחות לגבי העדר שווי לזכויות ההצבעה והעדר חלוקת דיבידנדים.

מודל בלק ושולס מניח כאמור התפלגות לוג נורמלית של המניה - היינו כי עליה וירידה אחוזית קבועה של מחיר המניות בכל רמת שערים בה יהיו המניות.

עם זאת הנחה זו לא בהכרח נכונה שכן במחקר Laterbach-Schulz שהתפרסם בארה,ב ב 1989 נבחנו 25,000 תצפיות שנבחנו בשנים 1971-1980 ב NYSE וב ANEX ושם נמצאה ירידה בשונות ככל שמחירי המניות עולים.

בהתאם לכך הוצעו בספרות מודלים חלופיים למודל בלק ושולס, כך הוצע מודל CEV- Constant Elasticity Variance 1/2 מודל המניח כהנחת יסוד ירידת השונות האחוזית עם עלית מחיר המניה היינו כי ככל שמחיר המניה יעלה יותר כך ירד שיעור התנודה האחוזית הצפוי של המניה. מודל CEV אינו מתכנס לפתרון אנליטי פשוט ולפיכך ניתן לחישוב סבוך ביותר בעזרת פעולות אינטגרציה אינסופיות.

מודל אחר שהוצג הוא מודל Geske המעריך התפלגות לוג נורמלית לרווחי החברה, אולם משקלל את כמות אג"ח של החברה. המודל מציג גם הוא בקיום אג"ח לחברה גמישות פחותה מלוג נורמלית - היינו ירידת הגמישות האחוזית של המניה עם עלית מחיר המניה.

השוואה בין ביצועי המודלים השונים בוצעה כאמור על ידי Lauterbach-Schulz אשר הצביעו בשנת 1989 כי מ 25,000 תצפיות בארצות הברית נמצא כי מודל בלק ושולס תימחר את מחירי האופציות ב 13.5% מתחת למחיר השוק שלהם ומודל CEV תימחר את מחירי האופציות ב 11.3% מתחת למחירי השוק שלהם.

מחקר שערך זאב כהן בישראל מצא הערכת חסר למודל בלק-שולס עם תיקוני גלאי-שינדלר של 11.7% ביחס למחירי האופציות Warrents הניסחרות.

מחקר שנערך בישראל על ידי צבי א. שמיר ורונן לנדסמן ב 1992 על 2,800 תצפיות קבע כי בעוד שבארצות הברית יש הצדקה להנחת שיעור שונות פחותה מזו של התפלגות לוג נורמלית, בישראל אין הצדקה לקביעת שיעור שכזה. יתר על כן מודל בלק שולץ עם תיקוני גלאי - שינדלר מעריך את מחירי האופציות בישראל הערכת חסר של מחירי האופציות ב-15.9%, בעוד מודל CEV מעריך את מחירי האופציות בהערכת חסר של 13.1%

לפיכך, למרות הביקורת, מודל בלק ושולס עם כל קשייו התאורטיים מהווה מודל סביר לחיזוי שווי אופציות, והוא פשוט הרבה יותר לחישוב ממודלים אחרים המוצעים בגינם לא קיימת נוסחה סגורה.