גרעין (תורת הקטגוריות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, גרעין הוא הכללה של מושג הגרעין של הומומורפיזם של חבורות, של מודולים ושל גרעינים של מורפיזמים אחרים המופיעים באלגברה. מבחינה אינטואיטיבית, הגרעין של המורפיזם הוא המורפיזם "הכללי ביותר" כך ש .

[עריכה] הגדרה

נניח כי C היא קטגוריה. על מנת להגדיר גרעין במובן הקטגורי, על C להכיל מורפיזם אפס. במקרה זה, אם הוא מורפיזם כלשהו בC, אז הגרעין של f הוא משווה של f ושל מורפיזם האפס מX לY. במילים אחרות, מתקיים:

בצורה יותר מפורטת, התכונה האוניברסלית הבאה מתקיימת: גרעין של f הוא מורפיזם המקיים:

• הוא מורפיזם אפס מK לY (כלומר, הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית):

• בהינתן מורפיזם כלשהו כך ש הוא מורפיזם אפס, קיים מורפיזם יחיד כך ש (כלומר, הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית):

במקרים רבים הנפוצים באלגברה, מתייחסים לאובייקט K כאל הגרעין של f, ומתעלמים מהמורפיזם k. במקרים אלו K היא תת קבוצה של X, וk היא העתקת ההכלה של K לתוך X. ניתן להראות כי k הוא תמיד מונומורפיזם (במובן הקטגורי של המילה).

לא לכל מורפיזם בהכרח קיים גרעין, אך אם קיים גרעין, הוא יחיד במובן הבא: אם ו- הם גרעינים של אז קיים איזומורפיזם יחיד כך ש

[עריכה] דוגמאות

• בקטגוריה של חבורות, בהינתן הומומורפיזם , אם K הוא הגרעין של f במובן הרגיל של המילה, אז K היא תת קבוצה של X, ומורפיזם ההכלה הוא הגרעין של f במובן הקטגורי.
• בקטגוריה של חוגים אין גרעין, משום שאין בקטגוריה זו מורפיזם אפס. (שהרי מניחים כי הומומורפיזמים מעתיקים את היחידה ליחידה).