Matriz (matemáticas)

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

Unha matriz é un conxunto de números ordenados en filas e columnas de forma rectangular.

Unha matriz con m filas e con n columnas dise unha matriz m x n

Filas son horizontais: Columnas son verticais MATRIZ 4x4

Un elemento dunha matriz A que está na i-ésima liña e na j-ésima columna é chamado elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. É escrito como A_i,j ou A[i,j].

Índice 1 Exemplos 2 Tipos de Matrices 2.1 Transposta 2.2 Vector liña 2.3 Vector columna 2.4 Cadrada 2.5 Matriz identidade 2.6 Matriz simétrica 3 Operacións envolvendo Matrices 3.1 Multiplicación por un escalar 3.2 Adición e Subtracción entre Matrices 3.3 Multiplicación de Matrices 3.4 Propiedades da Multiplicación 4 Véxase tamén

[editar] Exemplos

A matriz a seguir é unha matriz de orde 2×3 con elementos Números naturais

Nese exemplo, o elemento a_{1 2} é 2, o número na primeira liña e segunda columna do cadro.

As entradas (símbolos) dunha matriz tamén poden ser definidas de acordo cos seus índices i e j. Por exemplo, a_ij = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz 3x2 .

[editar] Tipos de Matrices

[editar] Transposta

A transposta de unha matriz A_{m × n} é a matriz A^t_{n × m} en que , ou sexa, todos os elementos da primeira liña, tornaranse elementos da primeira columna, todos os elementos da segunda liña, tornaranse elementos da segunda columna, todos os elementos da n liña, serán elementos da n columna.

Exemplo: 

[editar] Vector liña

Unha matriz 1 × n (unha liña e n columnas) é chamada vector liña.

Exemplo: 

[editar] Vector columna

Unha matriz m × 1(unha colmuna e m liñas) é chamada vector columna.

Exemplo:  

[editar] Cadrada

Unha matriz é dita cadrada se ten o mesmo número de liñas e columnas, ou sexa, cando podemos dicir que, m ten a mesma cantidade de elementos que n. Nunha matriz cadrada A de orde n × n, chamase diagonal principal os elementos a_ij onde i = j, para i de 1 a n.

Exemplo:  matriz cadrada de orde 3x3.

[editar] Matriz identidade

I_n é a matriz cadrada n × n que ten todos os membros da diagonal principal iguais a 1 e 0 nas outras posicións.

Exemplo: .

A única matriz identidade que non contén ceros é a matriz identidade de orde 1:

[editar] Matriz simétrica

Unha matriz A dise simétrica se A = A^t. Iso só ocorre con matrices cadradas.

Exemplo: A=  = At

[editar] Operacións envolvendo Matrices

[editar] Multiplicación por un escalar

A multiplicación é unha das operacións mais simples que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número k calquera por unha matriz n×m A, basta multiplicar cada entrada a_ij de A por k. Asi, a matriz resultante B será tamén n×m e b_ij = k.a_ij. Con iso, podese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo inverso dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: encanto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "conmutativa", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.

Por exemplo:

[editar] Adición e Subtracción entre Matrices

Dadas as matrices A e B do tipo m por n, a súa soma A + B é a matriz m por n computada adicionando os elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].

Por exemplo:

[editar] Multiplicación de Matrices

A Multiplicación de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se A é unha matriz m por n e B é unha matriz n por p, entón o seu produto AB é a matriz m por p (m liñas e p columnas) dada por:

para cada par i e j.

Por exemplo:

[editar] Propiedades da Multiplicación

A multiplicación de matrices ten as seguintes propiedades:

NON CONMUTATIVA: En xeral o produto de matrices é non conmutativo.

Se as matrices non son cadradas poderemos facer AB pero non BA

Se as matrices son cadradas poderemos facer AB e BA peron non teñen porque coincidir. Se coinciden diremos que as matrices A e B conmutan. AB=BA

Exemplo:   e  as matrices non conmutan.

DISTRIBUTIVA:

Se A e B e a matriz C ("distributiva á esquerda"). C(A+B)=CA+CB

Se A e B e a matriz C ("distributiva á dereita"). (A+B)C=AC+BC

[editar] Véxase tamén

• O conxunto das matrices n×m sobre un corpo F coas operacións de soma de matrices e multiplicación de escalar por matriz forma un espazo vectorial de dimensión nm sobre F.

• O espazo vectorial das matrices n×n sobre un corpo F coa operación de multiplicación de matrices forma unha álxebra asociativa con elemento identidade sobre o corpo F.