Insiemi

De Vichipedie, la enciclopedie libare dute in marilenghe.

In matematiche, un insiemi (insieme par talian e set par inglês) al è une colezion di ogjets che e ven considerade come un dutun. Cheste idee, inte sô semplicitât, e je a la base di ducj i cjamps de matematiche tant che il prin cjapitul di cualsisei bon libri di test al è dedicât al studi des principâls carateristichis e proprietâts dai insiemis.

In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche.

Indis

1 Definizions
2 Descrizion
- 2.1 Cardinalitât
- 2.2 Insiemis numerics fondamentâi
3 Relazions tra insiemis
- 3.1 Sotinsiemis
- 3.2 Insiemi des parts
4 Operazions cui insiemis
- 4.1 Proprietâts des operazions
5 Bibliografie

[cambie] Definizions

Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts elements dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi $A$ e l'insiemi $B$ (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns se e dome se a son costituîts dai stes elements; in chel câs si pues scrivi $A = B$ .

Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi $A$ e un ogjet $a$ , si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin:

$a$ al è un element di $A$ : a si dîs che $a$ al aparten a $A$ e si scrîf $a \in A$ ;
$a$ nol è un element di $A$ : a si dîs che $a$ nol aparten a $A$ e si scrîf $a \notin A$ .

Chest al impliche che:

no esistin câs intermedis: un element o al aparten o nol aparten a un insiemi;
un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi.

[cambie] Descrizion

Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son:

par liste, o sei disint un a un ducj i elements:
$A = {0;7;33;10088} = {10088;7;0;33};$
$B = {garofui; patatis; trisculis; cjariesis};$
Lis dôs definizions di $A$ a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte;
par carateristiche, o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:
$C = {i numars pari};$
$D = {lis machinis cuntune ruede sbuse}.$
In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipo
$C = \{\forall n\in \mathbb{N}: n=2m, \forall m\in \mathbb{N}\}$
$E = \{\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2: y=3x + 5\}.$
Ancje chi, $C$ al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui $\mathbb{N}$ e $\mathbb{R}$ al sarà spiegât plui indevant).

[cambie] Cardinalitât

Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis $A$ e $B$ e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis finîts, che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements; $C$ e $E$ a son invezit insiemis infinîts e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la cardinalitât).

L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs insiemi vueit e si indiche cun il simbul $\emptyset$ .

[cambie] Insiemis numerics fondamentâi

Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche.

I numars naturâi a son ducj i intîrs no negatîfs:
$\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}.$
I numars intîrs relatîfs, vâl a dî cun segn, si indichin cun $\mathbb{Z}$
$\mathbb{Z}=\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}.$
$\mathbb{Q}$ al è l'insiemi dai numars razionâi, ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:
$\mathbb{Q}=\{\forall q: q=\frac{m}{n}, \forall m,n\in\mathbb{Z} \mbox{ e } n\neq 0\}$ .
L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai numars reâi $\mathbb{R}$ .
I numars complès $\mathbb{C}$ a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant $i=\sqrt{-1}$ la unitât imagjinarie, si à
$\mathbb{C}=\{\forall z: z=x+iy, \forall x,y\in \mathbb{R}\}$ .

[cambie] Relazions tra insiemis

Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son coincidents. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin disgiunts.

[cambie] Sotinsiemis

A

al è un sotinsiemi di

B

L'insiemi $B$ al è un sotinsiemi dal insiemi $A$ se e dome se ducj i elements di $B$ a son ancje elements di $A$ . La scriture doprade e je

$B\subseteq A\mbox{ o ancje } A \supseteq B$ .

Se si è sigûrs che $A$ al vedi ancje elements che no apartegnin a $B$ , si tabaie alore di sotinsiemi tal sens stret o sotinsiemi propri e si scrîf:

$B\subset A\mbox{ o ancje } A \supset B$ .

Si à di notâ che cualsisei insiemi al à almancul doi sotinsiemis impropris (no tal sens stret): l'insiemi vueit $\emptyset$ e l'insiemi stes.

Par i insiemis numerics fondamentâi viodûts inte sezion anteriôr, a valin lis relazions che a seguissin:

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ .

(Nol è un erôr scrivi $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$ .)

[cambie] Insiemi des parts

L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi $A$ si clame insiemi des parts (en:power set in inglês) di $A$ . Par esempli, se $A = {1,2,3}$ , l'insiemi des parts $\mathcal{P}(A)$ al è

$\mathcal{P}(A)=\{\emptyset; A; \{1\}; \{2\}; \{3\}; \{1; 2\}; \{1; 3\}; \{2; 3\}\}$ .

Par un insiemi finît di $n$ elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je $2 n$ (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element).

[cambie] Operazions cui insiemis

Union di doi insiemis.

Intersezion di doi insiemis.

Insiemi diference di doi insiemis.

Complementâr dal insiemi

A

intal insiemi univiers

U

Union: la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se definin
$A = {1;4;8;11} e B = {3;5;4;7;1}$
alore la union e je
$A\cup B=\{1; 4; 8; 11; 3; 5; 7\}$ .
Si pues notâ che $A$ e $B$ a son sotinsiemis dal insiemi union $A\cup B$ e che i elements comuns ai doi insiemis ( ${1;4}$ ) no vegnin ripetûts.

Intersezion: la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun $A$ e $B$ come prime, si à
$A\cap B=\{1; 4\}$ .
De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.
O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit.

Insiemi diference: l'insiemi diference di $A$ in $B$ ( $B\setminus A$ o $B - A$ ) al è l'insiemi dai elements di $B$ che no apartegnin a $A$ . Continuant cul esempli:
$B\setminus A=\{3; 5; 7\} \mbox{ e } A\setminus B=\{8; 11\}$ .

Complementâr: In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât insiemi univiers; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi $A$ al è l'insiemi diference di $A$ intal insiemi univiers. Se o clamìn $U$ l'insiemi univiers e $\bar{A}$ (o ancje $\mathcal{C}_U(A)$ o $A'$ ) il complementâr di $A$ , si à
$\bar{A} = U \setminus A$ .

[cambie] Proprietâts des operazions

Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis. Intai esemplis che a seguissin, i insiemis $A, B$ e $C$ a son sotinsiemis dal insiemi univiers $U$ .

Proprietât comutative: union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative
$A\cup B = B\cup A$ ;
$A\cap B = B\cap A$ .
Proprietât associative: union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis
$A\cup B\cup C = (A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)$ ;
$A\cap B\cap C = (A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)$ .
Proprietât distributive: de intersezion rispiet ae union
$A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)$
e de union rispiet ae intersezion
$A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)$ .
Formulis di De Morgan:
$\overline{A\cap B} = \bar{A}\cup\bar{B}$ ;
$\overline{A\cup B} = \bar{A}\cap\bar{B}$ .

A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr:

$A\cup A = A \mbox{ e } A\cap A = A$ ;
$A\cup \emptyset = A \mbox{ e } A\cap \emptyset = \emptyset$ ;
$\overline{\bar{A}}=A$ ;
$A\cap\bar{A} = \emptyset \mbox{ e } A\cup\bar{A}=U$ ;
$A\setminus A = \emptyset$ ;
$A\setminus B = A \cap \bar{B}$ .

[cambie] Bibliografie

G. Spirito. Matematica Senza Numeri. Newton Compton, 1995. ISBN 88-7983-814-8
A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. La Nomencladure des Matematichis. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.
M. Fogale e E. Paolini. Une Introduzion ae Analisi Matematiche. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 2001.
Wikipedia Contributors. Set, in Wikipedia, the Free Enciclopedia, 30 July 2007, 00:14 UTC, <http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Set&oldid=147952691> [accessed 9 August 2007]
Contributori di Wikipedia. Insieme, in Wikipedia, l'Enciclopedia Libera, 8 giugno 2007, 19:50 UTC, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Insieme&oldid=9201617> [in data 9 agosto 2007]

Categorie: Matematiche

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