Seconde quantification

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La seconde quantification, aussi appelée quantification canonique, est une méthode de quantification des champs introduite par Dirac en 1927 pour l'électrodynamique quantique. Elle sera baptisée ainsi par Fock et Jordan en 1932. En 1949, Pauli dira à Klein : «La seconde quantification, c'est le péché au carré.»

[modifier] Exemple du champ scalaire réel

Considérons une particule relativiste de masse $m$ et de charge électrique nulle.

[modifier] Première quantification

L'équation relativiste donnant l'énergie $E$ de la particule massive en fonction de sa quantité de mouvement $\vec{p}$ s'écrit :

$E^2 \ = \ p^2 \, c^2 \ + \ m^2 \, c^4$

En appliquant une première fois les règles de la quantification canonique issues de la mécanique quantique, on obtient l'équation de Klein-Gordon pour la fonction d'onde $\Phi(\vec{r},t)$ :

$- \ \hbar^2 \ \frac{{\partial}^2\Phi(\vec{r},t)}{{\partial}t^2} \ = \ - \ \hbar^2 \, c^2 \ \Delta \ \Phi(\vec{r},t) \ + \ m^2 \, c^4 \ \Phi(\vec{r},t)$

Cette équation se réécrit sous la forme suivante :

$\left( \ \Box \ + \ \frac{m^2 \, c^2}{\hbar^2} \ \right) \ \Phi(\vec{r},t) \ = \ 0$

où $\Box$ représente l'opérateur d'Alembertien :

$\Box \ = \ \frac{1}{c^2} \ \frac{{\partial}^2 ~~}{{\partial}t^2} \ - \ \Delta$

[modifier] Développement de Fourier

Supposons pour simplifier que la particule soit confinée dans une grande boîte de volume $V$ fini. Le champ scalaire $\Phi(\vec{r},t)$ admet alors un développement en série de Fourier^[1]. Notons :

$ω$ la variable conjuguée au temps $t$ : $ω$ est la pulsation.

$\vec{k}$ le vecteur conjugué à la position $\vec{r}$ : $\vec{k}$ est le vecteur d'onde.

Les modes propres sont les exponentielles :

$f(\vec{r},t) \ = \ f_0 \ e^{- \, i \, \omega t \, + \, i \, \vec{k} \cdot \vec{r}}$

qui vérifient l'équation de Klein-Gordon :

$\left( \ \Box \ + \ \frac{m^2 \, c^2}{\hbar^2} \ \right) \, f(\vec{r},t) \ = \ 0 \quad \Longrightarrow \quad \left( \ - \ \frac{\omega^2}{c^2} \, + \, k^2 \, + \, \frac{m^2 \, c^2}{\hbar^2} \ \right) \, f(\vec{r},t) \ = \ 0$

On doit donc avoir la relation de dispersion :

$\frac{\omega^2}{c^2} \ = \ k^2 \, + \, \frac{m^2 \, c^2}{\hbar^2}$

Donc, si l'on se donne un vecteur d'onde $\vec{k}$ , il lui correspond deux modes propres de pulsations respectives :

$\omega_{\pm} \ = \ \pm \ \sqrt{\ c^2 \, k^2 \, + \, \frac{m^2 \, c^4}{\hbar^2} \ }$

Le développement en série de Fourier du champ scalaire $\Phi(\vec{r},t)$ peut donc s'écrire comme une somme sur les tous les vecteurs d'ondes possibles^[2] :

$\Phi \left( \overrightarrow{r},t\right) =\sum_{\overrightarrow{k}}\left[ A_{+}e^{-i\omega _{+}t}+A_{-}e^{-i\omega _{-}t}\right] e^{i\overrightarrow{k} .\overrightarrow{r}}+c.c.$

où $c c$ désigne le complexe conjugué.

[modifier] Seconde quantification

La procédure de seconde quantification consiste à remplacer les coefficients complexes des modes de Fourier du développement du champ scalaire par des opérateurs abstraits :

$\hat{a}_{\vec{k}}$ , appelé opérateur d'annihilation d'un quantum d'impulsion $\hbar \vec{k}$ .

$\hat{a}_{\vec{k}}^{\dagger}$ , appelé opérateur de création d'un quantum d'impulsion $\hbar \vec{k}$ .

Ces opérateurs obéissent par définition à la règle de commutation canonique :

$\left[ \ \hat{a}_{\vec{k'}}, \ \hat{a}_{\vec{k}}^{\dagger} \ \right] \ = \ \delta_{\vec{k}, \vec{k}'} \ \hat{1}$

Le champ scalaire de spin zéro est donc un champ bosonique.

[modifier] Notes et références

↑ Si le volume $V$ de la boîte est infini, il faut utiliser la transformée de Fourier à la place de la série de Fourier.
↑ Il faut imposer une condition aux limites sur la frontière $\partial V$ du volume fini $V$ . C'est cette condition aux limites qui va provoquer la discrètisation des vecteurs d'ondes possibles. Si on prend par exemple des conditions aux limites périodiques pour un volume parallépipédique : $V = L x L y L z$ , cette quantification s'écrira explicitement : $k_i \ = \ \frac{2 \, \pi \, n_i}{L_i}$ où les entiers $n_i \ \in \ \mathbb{Z}$ .