Seconde forme fondamentale

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En géométrie différentielle, la seconde forme fondamentale, notée II, est une forme quadratique sur l'espace tangent de l'hypersurface d'une variété riemannienne.

[modifier] Définition

En notant $\nabla_v w$ la dérivée covariante et n un ensemble de vecteurs normaux à l'hypersurface, on a :

$\mathrm I\!\mathrm I(v,w)= -\langle \nabla_v n,w\rangle=\langle n,\nabla_v w\rangle$ .

Le signe de la seconde forme fondamentale dépend du choix de la direction de n (la co-orientation de l'hypersurface).

On peut généraliser le concept de seconde forme fondamentale aux espaces de codimension arbitraire. Dans ce cas, c'est une forme quadratique sur l'espace tangent, à valeurs dans le fibré normal :

$\mathrm{I}\!\mathrm{I}(v,w)=(\nabla_v w)^\bot,$

avec $(\nabla_v w)^\bot$ la projection orthogonale de la dérivée covariante $\nabla_v w$ sur le fibré normal.

[modifier] Espaces euclidiens

Dans les espaces euclidiens, le tenseur de courbure d'une sous-variété peut être décrit par l'équation de Gauss :

$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.$

[modifier] Variétés riemanniennes

Pour une variété riemannienne quelconque, on doit ajouter la courbure de l'espace ambiant. Si N est une variété incluse dans une variété riemannienne (M,g), alors le tenseur de courbure $R N$ de N avec métrique induite peut être exprimé à partir de la seconde forme fondamentale et de $R M$ , le tenseur de courbure de M :

$\langle R_N(u,v)w,z\rangle = \langle R_M(u,v)w,z\rangle+\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,z),\mathrm I\!\mathrm I(v,w)\rangle-\langle \mathrm I\!\mathrm I(u,w),\mathrm I\!\mathrm I(v,z)\rangle.$