Représentation de Schrödinger

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En mécanique quantique, la représentation de Schrödinger est une des trois formulations et modes de traitement des problèmes dépendants du temps dans le cadre de la mécanique quantique classique. Dans cette réprésentation, l'état d'un système évolue avec le temps.

[modifier] Généralités

Le principe de superposition stipule qu'une fonction d'état est en général une combinaison linéaire d'états propres. Dans cette représentation:

Les états sont fonction du temps, notés dans la notation de Dirac sous forme de kets $|\Psi(t)\rangle_S$
Les opérateurs sont indépendants du temps
La dynamique du système est décrite par l'équation de Schrödinger :
$i \hbar \partial_t|\Psi(t)\rangle_S =\hat H |\Psi(t)\rangle_S$

[modifier] L'opérateur évolution du temps

Article détaillé : Opérateur d'évolution.

L'évolution de la fonction d'état enre deux instants successifs $t 0$ et $t$ , une fois connu l'état de l'instant initial $t 0$ est gouvernée directement( sans repasser par l'equation de Schrödinger) par un opérateur unitaire $U (t, t 0)$ (opérateur lui-même déduit du hamiltonien de l'equation de Schrödinger) nommé le propagateur de l'équation de Schrödinger. L'action sur le ket $|\Psi(t_0)\rangle_S$ est de le transformer en le ket $|\Psi(t)\rangle_S$ :

$|\Psi(t)\rangle_S = U(t,t_0)|\Psi(t_0)\rangle_S$

[modifier] Lien avec les autres représentations

En ceci cette formulation diffère de la représentation de Heisenberg dans laquelle les états propres sont indépendants du temps mais où ce sont les opérateurs agissant sur ces états propres (les observables) qui varient au cours du temps. Il existe enfin un moyen terme, la représentation d'interaction dans laquelle l'évolution au cours du temps est prise en charge à la fois par la fonction d'onde et l'opérateur.

	Représentation :
	Heisenberg	Interaction	Schrödinger
Ket	constant	$\|\Psi(t)\rangle_I = U_0^{-1} \|\Psi(t)\rangle_S$	$\|\Psi(t)\rangle_S = U \|\Psi(t_0)\rangle_S$
Observable	$A H (t) = U - 1 A S U$	$A_I (t)=U_0^{-1} A_S U_0$	constant
Opérateur d'évolution	$\hat H = \hat H_0 + \hat V(t)$	$U(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}$ $U_0(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H_0(t-t_0)}$
Mécanique quantique : Théorème d'Ehrenfest • Équation de Schrödinger • Propagateur