Nombre premier unique
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Un nombre premier p ≠ 2, 5 est appelé unique ssi il n'existe pas d'autre nombre premier q tel que la longueur de la période du développement décimal de son inverse, 1 / p, est équivalent à la longueur de la période de l'inverse de q, 1 / q.
Les nombres premiers uniques ont été décrits pour la première fois par Samuel Yates en 1980.
Il peut être montré qu'un nombre premier p est d'une période unique n ssi il existe un nombre naturel c tel que :
où 
est le n-ième polynôme cyclotomique.
On ne connaît pour le moment que 18 nombres premiers uniques. Il n'en existe pas d'autre inférieur à 1050. La table ci-dessous rassemble tous les nombres premiers uniques connus (Encyclopédie électronique des suites entières id=A040017) et indique la longueur de leur période (Encyclopédie électronique des suites entières id=A051627}} :
| Longueur de la période | Nombre premier |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 11 |
| 3 | 37 |
| 4 | 101 |
| 10 | 9 091 |
| 12 | 9 901 |
| 9 | 333 667 |
| 14 | 909 091 |
| 24 | 99 990 001 |
| 36 | 999 999 000 001 |
| 48 | 9 999 999 900 000 001 |
| 38 | 909 090 909 090 909 091 |
| 19 | 1 111 111 111 111 111 111 |
| 23 | 11 111 111 111 111 111 111 111 |
| 39 | 900 900 900 900 990 990 990 991 |
| 62 | 909 090 909 090 909 090 909 090 909 091 |
| 120 | 100 009 999 999 899 989 999 000 000 010 001 |
| 150 | 10 000 099 999 999 989 999 899 999 000 000 000 100 001 |
