Limite projective

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En mathématiques, la notion de limite projective (inverse limit en anglais) est utilisée pour considérer simultanément toute une famille d'objets, par exemple des groupes, liés entre eux par une famille de morphismes, par exemple des morphismes de groupes.

Le cadre général pour cette notion est celui des catégories.

[modifier] Définition concrète

Pour fixer les idées, on parle d'abord de limite projectives de groupes.

On considère une famille (A_i)_i∈I de groupes, indexée par un ensemble I ordonné, et munie d'une famille de morphismes de groupes f_ij : A_j → A_i pour tout i ≤ j (remarquer l'ordre : du plus grand indice j vers le plus petit i, au contraire d'une limite inductive) vérifiant les conditions de compatibilité :

f_ii est l'identité sur A_i,
f_ik = f_ij O f_jk pour tous i ≤ j ≤ k.

La donnée (I, A_i, f_ij) est appelée système projectif de groupes. La limite projective de ce système est alors définie comme un sous-groupe du produit direct des A_i :

$\varprojlim A_i = \Big\{(a_i) \in \prod_{i\in I}A_i \;\Big|\; \forall i \leq j, \,\, a_i = f_{ij}(a_j) \Big\}$

Cette limite projective est munie naturellement de projections sur chacun des A_i. Qui plus est, elle vérifie une propriété universelle parmi les groupes se projetant sur les A_i. Il est en fait possible de définir la limite projective par cette propriété universelle.

La même construction peut être effectuée avec des ensembles, des anneaux, des modules, des algèbres, au lieu des groupes.

[modifier] Exemple

L'anneau des entiers p-adiques $\mathbb Z_p$ est défini comme la limite projective des anneaux $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ , indexés par $\mathbb{N}$ et reliés par les morphismes de réduction modulo p. Un entier p-adique est alors une suite $(a_n)_{n\ge 1}$ telle que $a_n \in \mathbb Z/p^n\mathbb Z$ et que, si $n<m,\qquad a_n\equiv a_m [p^n]$ .

[modifier] Définition générale

Soit (X_i, f_ij) un système projectif dans une catégorie C (la définition donnée ci-dessus pour les groupes s'adapte à n'importe quelle catégorie). La limite projective X est un objet de la catégorie C muni de flèches π_i de X à valeurs dans X_i vérifiant les relations de compatibilité π_i = f_ij O π_j pour tous i ≤ j. De plus, la donnée (X, π_i) doit être universelle : pour tout autre objet Y muni d'une famille de flèches ψ_i il existe une unique flèche u : Y → X telle que le diagramme :

soit commutatif pour tous i ≤ j. La limite projective est notée : $X = \varprojlim X_i$ . On parlera de limite projective des X_i suivant les morphismes f_ij, ou par abus de langage, de limite suivant I, voire tout simplement de limite projective des X_i.

Contrairement au cas concret de la catégorie des groupes, où la définition comme sous-groupe du produit direct assure l'existence d'une limite projective, la limite projective peut ne pas exister dans une catégorie générale. En revanche, l'unicité si existence est toujours assurée : si X′ est une autre limite projective, il existe un unique isomorphisme X′ → X qui commute avec les projections.