Inégalité arithmético-géométrique

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Étant donnés n réels strictement positifs $x_1,\, \dots,\, x_n$ , on définit leur moyenne arithmétique $\ m_a$ et leur moyenne géométrique $\ m_g$ :

$m_a = \frac{1}{n}\, (x_1 + \cdots + x_n)$ et $m_g = \sqrt[n\,]{x_1 \cdots x_n}$ .

Il est classique que :

$m_g \leq m_a$ .
$\ m_g = m_a$ si et seulement si les $\ x_i$ sont tous égaux.

On démontre habituellement cela à l’aide d’une inégalité de convexité.

Démonstration

Comme $\ m_g > 0$ et $\ m_a > 0$ , $m_g \leq m_a$ équivaut (par croissance stricte du logarithme)

à $\ln(m_g) \leq \ln(m_a)$ ,

ou à $\frac{1}{n}\, \left[\,\ln(x_1) + \cdots + \ln(x_n)\right] \leq \ln \left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right)$ .

Cette dernière inégalité n'est autre que l’inégalité de convexité appliquée à la fonction logarithme népérien (concave), et aux coefficients (tous égaux) $t_1 = \cdots = t_n = \frac{1}{n}$ .

Le cas d'égalité résulte de ce que le logarithme népérien est strictement concave.

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