Formule de Perron
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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie analytique des nombres, la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la somme d'une fonction arithmétique, comme rapports d'une transformation de Mellin inverse.
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[modifier] Enoncé
Soit 
une fonction arithmétique, et soit
la série de Dirichlet correspondante. Nous supposons que la série de Dirichlet est absolument convergente pour 
. Alors, la formule de Perron est
La formule requiert 
et 
réel, mais arbitraire autrement. La formule reste valable pour 
[modifier] Preuve
Une esquisse facile de la preuve est donnée en utilisant la formule sommatoire d'Abel
Ce n'est rien d'autre qu'une transformation de Laplace pour le changement de variable 
. En inversant cela, on obtient la formule de Perron.
[modifier] Exemples
A cause de sa relation générale avec les séries de Dirichlet, la formule est communément appliquée à de nombreuses sommes de la théorie des nombres. Ainsi, par exemple, on a la représentation intégrale célèbre pour la fonction zeta de Riemann :
et une formule similaire pour les fonctions L de Dirichlet :
où
et 
est un caractère de Dirichlet. D'autres exemples apparaissent dans les articles sur la fonction de Mertens et la fonction de von Mangoldt.
[modifier] Références
- Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976.
