Décharge d'un condensateur

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La charge ou décharge d'un condensateur dans une résistance a des utilisations diverses dans le domaine de l'électronique. Elle sert en général à créer des temporisations, pour des capteurs de niveau de liquide anti-remous par exemple.

La valeur de la temporisation peut être réglable à l'aide d'un montage potentiométrique (ou rhéostatique) de la résistance dans laquelle le condensateur se décharge.

[modifier] Montage électrique

Décharge d'un condensateur dans une résistance

L'interrupteur se ferme à l'instant t = 0, la tension à ce moment uC = E

[modifier] Équations

L'équation de la décharge est :

$u_C(t) = Ee^{-\frac{t}{\tau}}$

$t = \tau*\ln(\frac{E}{u_C})$

Démonstration

Loi des mailles

D'une part, $i = -C\frac{du_C}{dt}$ car nous utilisons la convention générateur pour le condensateur.

$u_C-u_R = 0\,$ $\Leftrightarrow u_C-R\cdot i = 0$

Nous obtenons l'équation différentielle : $RC\frac{du_C}{dt} + u_C = 0$

$\Leftrightarrow RC\frac{du_C}{dt} = -u_C$

$\Leftrightarrow \frac{du_C}{u_C} = -\frac{dt}{RC}$

$\Leftrightarrow \ln(u_C) = -\frac{t}{RC}+\mathbf{cste}$

$\Leftrightarrow e^{\ln(u_C)} = e^{-\frac{t}{RC}+\mathbf{cste}}$

$\Leftrightarrow u_C(t) = e^{-\frac{t}{RC}+\mathbf{cste}}$

$\Leftrightarrow u_C(t) = A e^{-\frac{t}{RC}}$ , avec $A = e^{\mathbf{cste}}$

Et l'on pose $τ = R C$ qui est la constante de temps du circuit.

Équation instantanée

On en tire donc la valeur de $A$ :

À $t = 0, u_C = E\,$ , d'où $A = E\,$

Donc $u_C(t) = Ee^{-\frac{t}{\tau}}$

L'équation de la charge est :

$u_C(t) = E * (1-e^{-\frac{t}{\tau}})$

$t = -\tau*\ln(1-\frac{u_C}{E})$

[modifier] Courbe de décharge

Courbe de la décharge du condensateur dans la résistance

Comme le montre l'équation de $u_C(t)\,$ , la décharge est exponentielle. La courbe possède quelques caractéristiques :

La tangente à l'origine de l'exponentielle coupe la valeur finale (ici 0) à $t = \tau\,$ ,
À $t = \tau, u_C = 0.37\cdot E$ ,
À $t = 3\tau, u_C = 0.05\cdot E$ ,
À $t = 5\tau, u_C = 0.01\cdot E$ .

On considère en général que le régime permanent est établi à $t = 5\tau\,$ . On peut donc définir deux zones de la décharge :

De 0 à $5\tau\,$ : régime transitoire,
De $5\tau\,$ : régime permanent.

[modifier] Applications

La charge d'un condensateur à travers une résistance est beaucoup plus utilisée.

Exemple d'application : le capteur de niveau d'eau anti-remous.

Le capteur ouvre ou ferme un contact (photo-diode + photo-transistor) selon la présence ou absence d'eau à un certain niveau d'une cuve. Le problème qui se pose est de pouvoir éliminer le phénomène de « clignotement » du capteur dû aux remous de l'eau, qui peuvent générer des problèmes au niveau d'un automate.

La solution consiste à temporiser la sortie du capteur en intercalant un circuit RC entre le contact « photo-transistor » et la sortie.

Une telle solution peut être présentée comme ceci :

La sortie peut basculer après un temps prédéfini pour lequel le capteur voit de l'eau en permanence (donc pas de remous), donc à partir d'une tension « seuil » aux bornes du condensateur. En cas de remous, le contact s'ouvre, et donc le condensateur se décharge, on repart à zéro.

La présence de l'amplificateur opérationnel monté en trigger de Schmitt (ou comparateur à hystérésis) est destinée à empêcher le clignotement de la sortie dans le cas où la tension aux bornes du condensateur n'est pas purement exponentielle (des ondulations sur la courbe peuvent exister).