Algèbre associative
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En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d'associativité.
[modifier] Définition
Une algèbre associative A sur un corps 
est un espace vectoriel sur muni d'une multiplication bilinéaire 
telle que
- (x y) z = x (y z) pour tous x, y et z dans A,
où l'image de (x,y) est notée xy.
Si A contient une unité, i.e. un élément 1 tel que 1x=x=x1 pour tout x dans A, alors A est appelée algèbre associative unitaire. Une telle algèbre est un anneau et contient le corps de base par identification de c dans avec c1 dans A.
La dimension d'une algèbre associative A sur un corps est sa dimension comme espace vectoriel sur .
[modifier] Exemples
- Les matrices carrées de taille n par n à coefficients dans forment une algèbre associative unitaire sur .
- Les nombres complexes
forment une algèbre associative unitaire de dimension 2 sur le corps 
des nombres réels. - Les quaternions forment une algèbre associative unitaire de dimension 4 sur le corps des nombres réels.
- Les polynômes à coefficients dans forment une algèbre associative unitaire de dimension infinie sur .
- Pour tout espace vectoriel V, les endomorphismes de V forment une algèbre associative unitaire.
- Les algèbres enveloppantes des algèbres de Lie sont des algèbres associatives.
- Les algèbres d'incidence des ordres partiels localement finis sont des algèbres associatives utilisées en combinatoire.
