Gradientti

Wikipedia

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka operoi skalaarifunktioihin (kts. myös roottori ja divergenssi). Kolmen muuttujan funktion gradientti grad(f) määritellään

$\nabla f(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) \vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) \vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) \vec{k}$ ,

missä "varoituskolmio" luetaan 'nabla' ja derivaatat ovat osittaisderivaattoja eri muuttujien suhteen. Tavallisen yhden muuttujan derivaattaoperaattorin analogia esimerkiksi kolmen muuttujan tapauksessa on siis

$\nabla = \vec{i} \partial_x + \vec{j} \partial_y + \vec{k} \partial_z$ .

Yleisen n muuttujan funktion gradientti määritellään

$\nabla f(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}), & \frac {\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}), &\cdots & ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \end{bmatrix}^T$ ,

missä siis

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1, & x_2, & \cdots, & x_n \end{bmatrix}^T$ .

Gradientti on derivaatan yleistys funktioille $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ , ja seuraava askel funktioille $\mathbf{f}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p$ on niin sanottu Jacobin matriisi. Gradientti on "täysiverinen" vektori. Osoittautuu myös, että funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.

Sisällysluettelo

1 Gradientin avulla tehtyjä määritelmiä ja laskusääntöjä
2 Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa
3 Katso myös
4 Aiheesta muualla

[muokkaa] Gradientin avulla tehtyjä määritelmiä ja laskusääntöjä

[muokkaa] Differentiaali

Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin

$\Delta f(x) = f'(x) \Delta x \;$ ,

ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla

$\Delta f(\mathbf{x}) = \nabla f \cdot \Delta \mathbf{x}$ ,

missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.

[muokkaa] Suunnattu derivaatta

Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin $\vec{e}$ suuntaan on

$\partial_{\vec{e}} f(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \vec{e}_0$ ,

missä $\vec{e}_0\;$ on $\vec{e}\;$ :n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.

[muokkaa] Ketjusääntö

Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli

$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1(t), & x_2(t), & \cdots, & x_n(t) \end{bmatrix}^T$ ,

saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta

$\frac{df(\mathbf{x}(t))}{dt} = \nabla f(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{x}'(t)$ ,

missä siis

$\mathbf{x}'(t) = \begin{bmatrix} x_1'(t), & x_2'(t), & \cdots, & x_n'(t) \end{bmatrix}^T$ .

Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.

[muokkaa] Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa

Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on

$\nabla f(r,\phi) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r} + \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi}$ ,

sylinterikoordinaatistossa

$\nabla f(r,\phi,z) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r} + \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \phi} + \vec{e}_z \frac{\partial f}{\partial z}$

sekä pallokoordinaatistossa

$\nabla f(r,\theta,\phi) = \vec{e}_r \frac{\partial f}{\partial r} + \vec{e}_{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} + \vec{e}_{\phi} \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial f}{\partial \phi}$ .

Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat $\begin{cases} x = r \sin \theta \cos \phi \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ z = r \cos \theta \end{cases}$