Galois'n laajennus
Wikipedia
Kuntateoriassa Galois'n laajennus on algebrallinen kuntalaajennus E/F, joka toteuttaa tiettyjä ominaisuuksia. Voidaan myös sanoa lyhyemmin, että laajennus on Galois. Galois'n laajennuksen merkittävyys käy ilmi siitä, että laajennuksella on Galois'n ryhmä ja se toteuttaa Galois'n teorian peruslauseen.
Galois'n laajennuksen määritelmä on seuraava: Laajennus E/F on Galois jos automorfismien ryhmä Aut(E/F) on sama kuin kunta F.
Emil Artinin tuloksen perusteella Galois'n laajennus voidaan konstruoida seuraavasti: Olkoon E on annettu kunta, G on äärellinen ryhmä E:n automorfismeja ja F on G:n kiintokunta. Tällöin E/F on E:n Galois'n laajennus.
[muokkaa] Galois'n laajennusten karakterisointi
Tärkeä Emil Artinin tulos on seuraava: Äärellinen laajennus E/F on Galois jos ja vain jos jokin seuraavista on voimassa
- E/F on normaali laajennus ja separoituva laajennus.
- E on separoituvan polynomin jakokunta, jonka kertoimet kuuluvat F:ään.
- [E:F] = |Aut(E/F)| eli kuntalaajennuksen aste on sama kuin E/F:n automorfismien muodostaman ryhmän aste.
