Aksiomaattinen joukko-oppi

Wikipedia

Aksiomaattinen joukko-oppi on toinen niistä osista, joihin joukko-oppi tavallisesti jaetaan. Toinen osista on naiivi joukko-oppi. Joukko-opin kehitti 1800-luvun lopulla saksalaisen matemaatikko Georg Cantor matematiikan haaraksi. Se on nykyisen matematiikan perustava osa.

[muokkaa] Aksiomaattinen joukko-oppi

Nykyisin eniten tutkittu ja käytetty joukko-opin aksiomaattinen järjestelmä on Zermelo-Fraenkelin aksioomat, lyhenne ZF. Usein aksioomien joukkoon lisätään myös valinta-aksiomi C, jolloin käytetään lyhennettä ZFC. Aksioomia on kymmenen:

Samuusaksiomi: Kaksi joukkoa ovat samat jos ja vain jos niillä on samat alkiot.
Tyhjän joukon aksiomi: On olemassa alkioton joukko. Merkitsemme tätä tyhjää joukkoa ${}$ .
Pariaksiomi: Jos $x$ ja $y$ ovat joukkoja, niin myös ${x, y}$ on joukko, joka sisältää vain alkiot $x$ ja $y$ .
Unioniaksiomi: Jokaista joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$ , jonka alkiot ovat samat kuin joukon $x$ alkiot.
Äärettömyysaksiomi: On olemassa sellainen joukko $x$ , että ${}$ on $x$ :n alkio ja aina kun $y$ on $x$ :n alkio, niin on myös unioni $y \cup \{ y \}$ .
Separaatioaksiomi (tai osajoukkoaksiomi): Jokaista joukkoa ja jokaista propositiota (ehtoa, relaatiota) $P (x)$ kohti on olemassa sellainen alkuperäisen joukon osajoukko, joka sisältää täsmälleen ne joukon $x$ alkiot, joille $P (x)$ pätee.
Korvausaksiomi: Jokaista joukkoa ja kuvausta, joka määritellään formaalisti relaationa $P (x, y)$ missä ehdosta $P (x, y)$ ja $P (x, z)$ seuraa $y = z$ , kohti on olemassa joukko, joka sisältää täsmälleen alkuperäisen joukon alkioiden kuvat.
Potenssijoukkoaksiomi: Jokaisella joukolla on potenssijoukko eli sen kaikkien osajoukkojen joukko. Se on: jokaista joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$ , joka sisältää vain kaikki $x$ :n osajoukot.
Säännöllisyysaksiomi: Jokainen epätyhjä joukko $x$ sisältää sellaisen alkion $y$ , että $x$ ja $y$ ovat erillisiä joukkoja.
Valinta-aksiomi: (Zermelon versio) Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa $x$ kohti on olemassa joukko $y$ joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta $x$ :n alkiosta.