Τριγωνική ανισότητα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Η τριγωνική ανισότητα στα μαθηματικά είναι μία έκφραση του ότι "μεταξύ δύο σημείων, συντομωτέρα οδός η ευθεία". Συγκεκριμένα εκφράζει ότι σε ένα τρίγωνο, το μήκος κάθε πλευράς είναι μικρότερο από το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο πλευρών, καθώς και μεγαλύτερο από τη διαφορά τους.

[Επεξεργασία] Στη μαθηματική ανάλυση

Ας είναι x και y δύο πραγματικοί αριθμοί. Η τριγωνική ανισότητα γράφεται

όπου με |x| συμβολίζουμε την απόλυτη τιμή του αριθμού x.

Γενικότερα, σε έναν μετρικό χώρο (X,d) η τριγωνική ανισότητα λαβαίνεται ως αξίωμα:

και σε έναν νορμικό χώρο (V,||.||):

για οποιαδήποτε διανύσματα x,y του V.

[Επεξεργασία] Στην ευκλείδεια γεωμετρία

• Τριγωνική ανισότητα: Κάθε πλευρά σε τρίγωνο είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

Απόδειξη: Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ. Προεκτείνουμε την γ προς το Α και παίρνουμε ΑΔ = β. Το τρίγωνο ΑΓΔ δηλαδή είναι ισοσκελές, άρα Δ = ΑΓΔ < ΒΓΔ και έτσι α < β + γ.

Με κυκλική εναλλαγή προκύπτει επίσης ότι β < γ + α και γ < α + β.

Εφόσον τώρα είναι β > γ, από το ότι β < γ + α παίρνουμε β - γ < α. Αποδείξαμε τελικά ότι ισχύει

|β - γ| < α < β + γ

• Η τριγωνική ανισότητα είναι στην πραγματικότητα ένα κριτήριο τριγώνων, υπό την έννοια ότι αν δίνονται τρία μήκη α, β και γ, αυτά θα είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνο αν ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα.

• Πολυγωνική ανισότητα: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία είναι μικρότερο από κάθε τεθλασμένη που ενώνει τα σημεία αυτά.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα και ΑΣ₁Σ₂Σ₃…Σ_ν-1Σ_νΒ μία τεθλασμένη. Φέρνουμε όλες τις διαγωνίους από το Β. Από τις τριγωνικές ανισότητες στα τρίγωνα που σχηματίζονται παίρνουμε διαδοχικά:

[Επεξεργασία] Δείτε ακόμη

• Τρίγωνο
• Ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς
• Αρχή του ελαχίστου χρόνου