Richtungsableitung

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In der Mathematik ist die Richtungsableitung (auch Gâteaux-Differential) einer von mehreren Variablen abhängigen Funktion die Änderungsrate dieser Funktion in einer durch einen Vektor vorgegebenen Richtung.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
3 Beispiel
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Definition

Seien ${U}\subseteq \mathbb{R}^n$ eine offene Menge und $\vec{x}\in {U}$ .

Die (beidseitige) Richtungsableitung einer Funktion $f:{U} \rightarrow \mathbb{R} {,}$ entlang eines Vektors $\vec{v} = (v_1, \ldots, v_n)\in \mathbb{R}^n$ mit $|\vec{v}| = 1$ im Punkt $\vec{x}$ ist, falls der Grenzwert existiert, definiert durch den Limes

$D_{\vec{v}}{f(\vec{x})} = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}$

Manchmal wird die Einschränkung $|\vec{v}| = 1$ auch weggelassen.

Die einseitige Richtungsableitung von $f:{U} \rightarrow \mathbb{R}$ in Richtung $\vec{v}\in\mathbb{R}^{n}$ ist definiert durch

$D^{+}_{\vec{v}}{f(\vec{x})} = \lim_{h \rightarrow 0, h>0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.$

Existiert die beidseitige Richtungsableitung von $f$ , so gilt $-D^{+}_{-\vec{v}}{f(\vec{x})} = D^{+}_{\vec{v}}{f(\vec{x})} = D_{\vec{v}}{f(\vec{x})}$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Die einseitige Richtungsableitung ist als Funktion von $\vec{v}$ sublinear, d.h. konvex und positiv homogen, wobei positive Homogenität definiert ist durch

$D^{+}_{\alpha\vec{v}}{f(\vec{x})}=\alpha D^{+}_{\vec{v}}{f(\vec{x})}$ für $\alpha\geq 0$ .

Falls $f$ in $\vec{x}$ total differenzierbar ist, so ist die Richtungsableitung als Funktion von $\vec{v}$ sogar linear und kann durch den Gradienten $\nabla(f)$ von $f$ ausgedrückt werden:

$D_{\vec{v}}{f} = \nabla(f) \cdot \vec{v}$

[Bearbeiten] Beispiel

Absolutbetrag=seine Richtungsableitung in 0

Jede partiell differenzierbare Funktion ist insbesondere richtungsdifferenzierbar. Es gibt jedoch auch Beispiele für nicht partiell differenzierbare Funktionen, deren Richtungsableitung existiert. Im eindimensionalen Fall gibt es nur zwei mögliche Richtungen, nämlich nach links bzw. nach rechts. Die Ableitungen in beide Richtungen dürfen verschiedene Werte annehmen, das bedeutet anschaulich, dass die Funktion einen Knick haben kann. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Betragsfunktion. Sie ist in $0$ zwar nicht differenzierbar, aber die einseitige Richtungsableitung existiert:

$D^{+}_{h}{f(0)}=h$ für $h\geq 0$ und