Reissner-Nordström-Metrik

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Die Reissner-Nordström-Metrik (nach Hans Reissner und Gunnar Nordström) ist eine exakte, asymptotisch flache, stationäre und sphärisch-symmetrische Lösung der Einstein-Gleichungen für elektrisch geladene, nicht-rotierende Schwarze Löcher.

Das Linienelement hat die Form:

$\mathrm{d}s^2 = \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}+\frac{Q^{2}G}{4\pi\epsilon_{0} c^4 r^2}\right)c^2 \mathrm{d}t^2 -\left(1-\frac{2GM}{c^2 r}+\frac{Q^{2}G}{4\pi\epsilon_{0} c^4 r^2}\right)^{-1} \mathrm{d}r^2 - r^2(\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2+\mathrm{d}\theta^2)$

wobei $M$ die Masse und $Q$ die elektrische Ladung des Objektes sind. In den sogenannten natürlichen Einheiten wird $c = G = 1$ gesetzt, sodass die Metrik auch in der Form

$\mathrm{d}s^2 = \left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^2}\right) \mathrm{d}t^2 -\left(1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0} r^2}\right)^{-1} \mathrm{d}r^2 - r^2(\sin^2\theta\, \mathrm{d}\varphi^2+\mathrm{d}\theta^2)$

geschrieben werden kann.

Im Grenzfall $Q = 0$ ergibt sich daraus die bekannte Schwarzschild-Metrik. Der Einfachheit halber wird hier eine elektrische Punktladung im Koordinatenursprung angenommen, keine magnetischen Felder oder Kreisströme. Das elektromagnetische Viererpotential ist somit ein Coulomb-Potential:

$A_{\alpha} = \left(\frac{Q}{r}, 0, 0, 0\right)$

Ähnlich wie bei der Schwarzschild-Metrik lässt sich der Ereignishorizont berechnen, indem man den Radius bestimmt, für den die Metrik singulär wird. Aufgrund des Terms $\frac{Q}{r^2}$ finden sich in diesem Fall zwei Ereignishorizonte:

$r_\pm = M \pm \sqrt{M^2-Q^2}$

Für den Fall $| Q | = M$ fallen die beiden Ereignishorizonte zusammen, man spricht ab $|Q|\ge M$ von einer nackten Singularität, während bei $Q = 0$ sich wie bei der Schwarzschild-Metrik die Singularitäten bei $r = 0$ und $r = 2 M$ ergeben.

In der Astrophysik spielen elektrisch geladene Schwarze Löcher (also auch die Kerr-Newman-Metrik) eine untergeordnete Rolle, weil man annimmt, dass jede Ladung des Loches recht schnell durch elektrische Ströme, nämlich die Akkretionsflüsse, neutralisiert wird.