Primelement

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Der Begriff Primelement ist in der kommutativen Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffs der Primzahl auf kommutative unitäre Ringe.

Eine Nicht-Einheit eines kommutativen unitären Ringes heißt Primelement, falls für alle Elemente gilt: teilt c das Produkt , so folgt stets c teilt a oder c teilt b.

In Symbolnotation:

Primelemente sind also im wesentlichen diejenigen Elemente, die, wenn sie in irgendeinem Produkt vorkommen, auch in mindestens einem der Faktoren vorkommen.

Eine andere Verallgemeinerung des Primzahl-Begriffs bilden irreduzible Elemente, die nicht als Produkt von zwei Nicht-Einheiten dargestellt werden können. Die Begriffe Primelement und irreduzibles Element sind im allgemeinen verschieden.

[Bearbeiten] Sätze über Primelemente

• Ist c ein Primelement und e eine Einheit, so ist ebenfalls ein Primelement.
• Ist R ein Integritätsring, so ist jedes Primelement in R irreduzibel.
• Ist R ein faktorieller Ring, so ist jedes irreduzible Element auch prim, und jedes Element von lässt sich bis auf Einheitsfaktoren (und Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primelementen darstellen.
• Ist R ein Hauptidealring, so ist ein Element aus R genau dann prim, wenn es irreduzibel ist.
• Eine Nichteinheit von R ist genau dann ein Primelement, wenn das Hauptideal (c) ein Primideal ist.

[Bearbeiten] Beispiele

• Die Primelemente im Ring der ganzen Zahlen sind genau die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...) und ihre Gegenzahlen (-2, -3, -5, -7, -11, ...).
• Einheiten und die 0 sind per Definition keine Primelemente.
• In einem Körper gibt es keine Primelemente.