Parallelschaltung

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Dieser Artikel erläutert die Parallelschaltung in der Elektrotechnik, zu anderen Zusammenhängen siehe Parallelschaltung (Begriffsklärung).

Parallelschaltung zweier Schaltkreiselemente

Die Parallelschaltung beschreibt in der Elektrotechnik und Elektronik, aber auch in der Verfahrenstechnik eine Art der Schaltung der Elemente (Zweipole) in einem Schaltkreis: Bauteile sind parallel geschaltet, wenn alle ihre gleichnamigen Pole (oder Anschlüsse, Ein- oder Auslässe) jeweils miteinander verbunden sind. Die Anzahl der parallelgeschalteten Elemente ist beliebig.

Sind (zum Beispiel bei Dioden) die ungleichnamigen Pole miteinander verbunden, spricht man auch von Antiparallel-Schaltung.

Bei ungepolten passiven Bauteilen ist die Polarität der Zusammenschaltung beliebig.

Schaltpläne verschiedener Parallelschaltungen

[Bearbeiten] Eigenschaften einer Parallelschaltung

Die Parallelschaltung mehrerer Elemente hat folgende Merkmale:

An allen Elementen einer Parallelschaltung liegt der gleiche Potential-Unterschied (Spannung). Daher kann man durch Parallelschalten mehrerer elektrischer Verbraucher die Gesamtleistung erhöhen (Beispiel: zwei parallele 60-Watt-Lampen verbrauchen zusammen 120 W).
An allen Verbrauchern liegt die gleiche Spannung - auch wenn deren Stromaufnahme unterschiedlich ist.
In der Parallelschaltung können einzelne Elemente hinzugefügt oder entfernt werden (z. B. durchbrennen), ohne dass die anderen Elemente ausfallen.

Ein typisches Beispiel ist die Netzspannungsversorgung (im Haushalt 230 V). Alle Geräte werden - unabhängig von deren Leistungsaufnahme - für diese Spannung ausgelegt.

[Bearbeiten] Analogien in der Verfahrenstechnik

Druck- und Temperaturdifferenzen sind physikalische Analoga zur elektrischen Spannung. Es können so zum Beispiel für Kühlkreisläufe oder Wärmeübergänge elektrische Ersatzschaltbilder gebildet werden, um deren Eigenschaften nach den Regeln der Elektrotechnik zu berechnen.

So liefern mehrere parallel arbeitende Pumpen einen größeren Durchfluss, nicht jedoch einen größeren Druckunterschied.

Der Durchfluss (analog zum Stromfluss) in parallel geschalteten Einzelelementen eines Wärmetauscher-Systems (zum Beispiel eine Heizungsanlage) richtet sich nach deren Strömungswiderstand.

[Bearbeiten] Gesetzmäßigkeiten im Stromkreis

Bei Gleichspannung beziehungsweise bei ohmschen Verbrauchern an Wechselspannung gilt das Ohmsche Gesetz:

$U = R \cdot I$ ,

dabei ist U die Spannung in Volt, R der Widerstand in Ohm und I die Stromstärke in Ampere.

Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung nimmt mit jedem weiteren Verbraucher ab. Der Gesamtwiderstand ist also stets kleiner, als der kleinste Einzelwiderstand.

Eine Ausnahme ist ein Parallelschwingkreis an Wechselspannung - sein Scheinwiderstand ist größer als derjenige der Einzelelemente.

[Bearbeiten] Spannung

Die Spannung U, manchmal auch als U₀ bezeichnet, ist für alle Teilzweige in der Frequenz, Phase und Amplitude identisch.

$U = U_1 = U_2 = \ldots = U_n$

[Bearbeiten] Strom

Bei der Parallelschaltung verteilt sich der Gesamtstrom I nach der Kirchhoffschen Knotenregel auf die einzelnen Zweige. Die Summe der Teilströme ist gleich dem Gesamtstrom.

$I_{ges} = \sum\limits_{n=1}^N I_n = I_1 + I_2 + \ldots + I_N$

Bei Wechselspannung und gemischten induktiven, kapazitiven oder ohmschen Elementen müssen die Teilströme vektoriell addiert werden, ansonsten ergibt sich ein zu großer Gesamtstrom. Der Strom innerhalb einer Parallelschaltung aus Kondensator und Induktivität kann den außen gemessenen Gesamtstrom wesentlich übersteigen.

[Bearbeiten] Leistung

Die Gesamtleistung ist die Summe der Leistungen eines jeden Verbrauchers:

$P_{ges} = \sum\limits_{n=1}^N P_n =P_1 + P_2 + \ldots + P_N$

mit $P = U \cdot I$ ergibt sich

$P_{ges} = \sum\limits_{n=1}^N \left( U \cdot I_n \right) = U \cdot \sum\limits_{n=1}^N I_n = U \cdot (I_1 + I_2 + \ldots + I_n)$

da $\sum\limits_{n=1}^N I_n = I_{ges}$ folgt

$P_{ges} = U \cdot I_{ges}$

Durch einsetzen des ohmschen Gesetzes ergibt sich

$P_{ges} = \frac {U^2} {R_{ges}}$

$P_{ges} = {I_{ges}}^2 \cdot R_{ges}$

[Bearbeiten] Parallelschaltungen

[Bearbeiten] Spannungsquellen

Die Parallelschaltung von Spannungsquellen wird angewendet, um den verfügbaren maximalen Strom zu erhöhen. Alle parallelgeschalteten Spannungsquellen müssen:

die gleiche Spannung liefern,
mit gleichnamigen Polen zusammengeschaltet werden (gleiche Polung),
erd- bzw. potenzialfrei sein oder am gleichen Pol geerdet sein. Bei mehreren Verbindungspunkten können geringe Differenzströme fließen (siehe Brummschleife).
Wechselspannungsquellen müssen gleichphasig zusammengeschaltet werden.

Werden diese Punkte nicht beachtet, führt dies zu Ausgleichsströmen zwischen den Quellen, die (zum Beispiel bei Falschpolung) einem Kurzschluss gleichkommen.

Spannungsquellen (Netzteile) müssen neben gleicher Nennspannung für Parallelschaltung spezifiziert sein, ansonsten ist die gleichmäßige Stromaufteilung zwischen ihnen nicht sicher gegeben. Aus Gründen der Fehlerredundanz parallelgeschaltete Stromquellen müssen diese oft mit Dioden entkoppelt werden (Ohrring-Diode).

[Bearbeiten] Gesamtspannung

Die Gesamtspannung von mehreren parallel geschalteten Spannungsquellen ist, sofern man den Verlust über den Innenwiderstand außer Acht lässt, gleich der Spannung der einzelnen Spannungsquellen. Können die Innenwiderstände der Spannungsquelle nicht außer Acht gelassen werden, so muss auf die Schaltung das Superpositionsprinzip (Überlagerungsprinzip) angewendet werden.

[Bearbeiten] Gesamtstrom

Haben alle Quellen gleiche Spannung und den gleichen Innenwiderstand, ist der Maximalstrom gleich der Summe der Maximalströme der einzelnen Spannungsquellen. Zur genauen Bestimmung des Gesamtstromes gilt hier die Knotenregel. In der Praxis führen geringe Abweichungen zwischen den Spannungsquellen dazu, dass der Gesamtstrom um ca. 10 % des theoretischen Gesamtstroms vermindert werden muss.

[Bearbeiten] Gesamtinnenwiderstand

Der Gesamtinnenwiderstand bzw. -quellwiderstand der zusammengeschalteten Spannungsquellen lässt sich aus der Parallelschaltung der Teil-Innenwiderstände bestimmen:

$R_{i_{ges}} = {1 \over {\sum\limits_{n=1}^N {1 \over R_{i_n}}}} = {1 \over {{1 \over R_{i_1}} + {1 \over R_{i_2}} + \ldots + {1 \over R_{i_n}}}}$

(Gilt nur, wenn die Leerlaufsspannung identisch ist)

[Bearbeiten] Widerstände

Schematische Darstellung von zwei parallel geschalteten Widerständen

Der resultierende Gesamtwiderstand $R g e s$ einer parallelen Anordnung von N Einzelwiderständen $R n$ ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand und ergibt sich zu

$R_{ges}={U_{ges} \over I_{ges}}={U_{ges} \over \sum\limits_{n=1}^N I_n}={U_{ges} \over{ \sum\limits_{n=1}^N {U_n \over R_n}}} = {1 \over{ \sum\limits_{n=1}^N {1 \over R_n}}}$

wobei zunächst ausgenutzt wurde, dass sich die Stromstärken in der Parallelschaltung addieren $\left(I_{ges}=I_1 + I_2 + \ldots + I_n \right)$ . Für die einzelnen Stromstärken wurde sodann das Ohmsche Gesetz angewandt $\left(I_n = \frac{U_n}{R_n} \right)$ und schließlich noch von der Eigenschaft der Parallelschaltung Gebrauch gemacht, dass an den einzelnen Widerständen jeweils die gleiche Spannung −nämlich die Gesamtspannung− anliegt $\left(U_1 = U_2 = ... = U_n = U_{ges} = U\right)$ .

Für zwei Widerstände gilt daher:

$R_{ges}={U_{ges} \over I_1+I_2} = \frac {U_{ges}} { \frac {U_{ges}}{R_1} + \frac {U_{ges}}{R_2} } = {1 \over{ {1 \over R_1} + {1 \over R_2} }} = \frac {R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Der resultierende Widerstand einer Parallelschaltung ergibt sich aus dem harmonischen Mittel $R h a r m$ der Einzelwiderstände $R n$ - die Schaltung hätte den gleichen Gesamtwiderstand, wenn alle Einzelwiderstände den Wert des harmonischen Mittels besäßen. Daraus folgt:

$R_{ges}={R_{harm} \over N}$

Der Gesamtwiderstand von N parallelgeschalteten Widerständen mit dem gleichen Widerstandswert $\left(R_1 = R_2 = \ldots = R_N = R \right)$ errechnet sich daher durch

$R_{ges}={R \over N}$

Die durchschnittliche Stromstärke in der Parallelschaltung ist das arithmetische Mittel $I a r i t$ der Einzelstromstärken $I n$ . Die Gesamtstromstärke folgt daraus durch Multiplikation dieses Wertes mit der Anzahl N. Der Gesamtstrom von N parallelgeschalteten Widerständen mit dem gleichen Widerstandswert errechnet sich daher durch

$I_{ges}=I \cdot N$ mit $I= \frac{U_{ges}}{R}$

Alternativ lässt sich die Formel auch herleiten, wenn man an Stelle des Widerstandes R mit dem Leitwert G rechnet. Hierbei ergibt sich der Gesamtleitwert aus

$G_{ges} = {1\over R_{ges}} = {I_{ges} \over U_{ges}} = {\sum\limits_{n=1}^N I_n \over U_{ges}} = \sum_{n=1}^N {I_n \over U_{ges}} = \sum_{n=1}^N {1 \over R_n} = \sum_{n=1}^N G_n$

beziehungsweise für zwei Widerstände

$G_{ges} = {1\over R_{ges}}={I_{ges} \over U_{ges}}={I_1 + I_2 \over U_{ges}}={I_1\over U_{ges}}+{I_2 \over U_{ges}}={1 \over R_1}+{1 \over R_2} = G_1 + G_2$

als Summe der Teilleitwerte. Durch erneute Kehrwertbildung erhält man den Gesamtwiderstand:

$R_{ges} = {1 \over {\sum\limits_{n=1}^N {1 \over R_n}}} = {1 \over {{1 \over R_1} + {1 \over R_2} + \ldots + {1 \over R_n}}}$

Bringt man die Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner, erhält man folgende Gleichung für n parallelgeschaltete Widerstände ohne Doppelbruch (in den Produkten des Nenners $R j$ kürzen):

${R_{ges}} = {\frac{\prod\limits_{i=1}^N R_i}{\sum\limits_{j=1}^N \left(\frac{\prod\limits_{k=1}^N R_k}{R_j}\right)}}$

Für zwei Widerstände analog:

$R_{ges} = {1 \over {{1 \over R_1} + {1 \over R_2}}}$

Für den Spezialfall zweier parallel geschalteter Widerstände kann man die Gleichung wie folgt umformen:

$R_{ges} = {R_1 \cdot R_2 \over {R_1 + R_2}}$

Eine alternative, einfache Schreibweise erlaubt der Parallelitätsoperator:

$R_{ges} = R_1 {\|} R_2 {\|} \dots {\|} R_n$

[Bearbeiten] Kapazitäten

Parallelschaltung von Kondensatoren

Bei der Parallelschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität gleich der Summe der Einzelkapazitäten:

$C_{ges} = {\sum_{n=1}^N C_n} = C_1 + C_2 + \ldots + C_N$

Dies kann etwas komplexer mit dem Parallelitätsoperator als

$\frac{1}{C_{ges}} = \frac{1}{C_1} \| \frac{1}{C_2} \| \ldots \| \frac{1}{C_N}$

notiert werden um die Parallelität explizit darzustellen.

[Bearbeiten] Induktivitäten

Bei der Parallelschaltung von nicht gekoppelten Induktivitäten ist die Gesamtinduktivität gleich dem Kehrwert der Summe der Kehrwerte der Einzelinduktivitäten (Berechnung analog zu jener für parallele Widerstände):

$L_{ges} = {1 \over {\sum\limits_{n=1}^N {1 \over L_n}}} = L_1 \| L_2 \| \cdots \| L_n = {1 \over {{1 \over L_1} + {1 \over L_2} + \ldots + {1 \over L_n}}}$

[Bearbeiten] Memristivitäten

Bei der Parallelschaltung von Memristivitäten gilt analog zu den Widerständen:

$M(Q(t)) = M_1(Q_1(t)) \| M_2(Q_2(t)) \| \cdots \| M_N(Q_N(t)) = \frac{1}{\frac{1}{M_1(Q_1(t))} +\frac{1}{M_2(Q_2(t))} + \cdots + \frac{1}{M_N(Q_N(t))}}$

[Bearbeiten] Dioden

[Bearbeiten] Gleichsinnig parallel

Dioden können nur unter bestimmten Bedingungen parallel geschaltet werden, um die Strombelastbarkeit zu erhöhen. Da die Flussspannung mit steigender Temperatur sinkt, ist eine gleichmäßige Stromaufteilung nur dann gewährleistet, wenn:

die Dioden der gleichen Produktions-Charge entstammen,
die Dioden miteinander thermisch gekoppelt sind (zum Beispiel auf einer gemeinsamen Wärmesenke oder in einem gemeinsamen Gehäuse).

[Bearbeiten] Antiparallel

Antiparallel geschaltete Dioden sind zueinander gegensinnig parallel (Anode an Kathode und umgekehrt). Solche Schaltungen werden zum Beispiel zur Spannungsbegrenzung einer Wechselspannung auf den Wert der Flussspannung (bei Siliziumdioden ca. 0,7 V) eingesetzt. Weiterhin kann damit zum Beispiel eine Leuchtdiode mit antiparalleler Schutzdiode an Wechselspannung betrieben werden oder (bei Antiparallelschaltung einer LED) einen Polaritätswechsel anzeigen.

[Bearbeiten] Bipolartransistoren

Gleiche Bipolartransistoren können nur dann zur Erhöhung des Stromes parallel geschaltet werden, wenn durch Emitterwiderstände (Stromgegenkopplung) in jedem Zweig für ausreichen gleiche Stromaufteilung gesorgt wird. Die Ursache ist eine mit steigender Temperatur sinkende Kollektor-Emitter-Spannung sowie steigende Stromverstärkung. Hilfreich ist zusätzlich eine enge thermische Kopplung. Die Basis- und Kollektoranschlüsse können unter diesen Bedingungen parallelgeschaltet werden.

[Bearbeiten] MOSFET und IGBT

Gleichartige Leistungs-MOSFET und IGBT können parallelgeschaltet werden, da deren Temperaturcharakteristik zu einer gleichmäßigen Stromaufteilung führt.

[Bearbeiten] Gasentladungslampen

Gasentladungslampen können nicht direkt parallel geschaltet werden; aufgrund deren negativem differenziellem Innenwiderstand (siehe Gasentladung) würde nur eine von ihnen leuchten. Gasentladungslampen benötigen in Reihe ein Vorschaltgerät bzw. einen Vorwiderstand zur Strombegrenzung. Gemeinsam mit diesem Vorschaltgerät können sie wie auch andere Verbraucher parallel geschaltet werden.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks

http://www.hauitech.de/virtex/id30.htm Virtuelles Experiment zur elektrischen Parallelschaltung von zwei ohmschen Widerständen

Kategorien: Elektrische Schaltung | Theoretische Elektrotechnik

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