Diskussion:Hyperreelle Zahlen

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Inhaltsverzeichnis 1 Fehler und Probleme 2 Verständnis 3 praktische Anwendung 4 Wohlgeformtheit 5 Wahl des Ultrafilters

[Bearbeiten] Fehler und Probleme

Die Behauptung, die hyperreellen Zahlen wie hier definiert bildeten einen Koerper, ist falsch. Das gelaeufige Gegenbeispiel ist das Produkt der Folgen (0,1,1,1,...) und (1,0,0,0,...), welches die Null-Folge (0,0,0,0,...) ist, obwohl die Faktoren von Null verschieden sind. Somit ist ein Ring definiert, dieser aber nicht Nullteilerfrei, also kein Koerper (u.a. mit multiplikativem Inversen fuer alle Nichtnullelemente).

Zumindest die Aequivalenzrelation, die erzeugt wird, indem endliche Folgen zu Null aequivalent definiert werden, sollte erwaehnt werden. Damit wird man dieses Beispiel los, da der erste Faktor in der 0-Klasse und der zweite in der 1-Klasse liegt.

Womit sich sofort das naechste Beispiel anbietet, das Produkt der periodischen Folgen (0,1,0,1,...) und (1,0,1,0,...). Dieses wird man erst mit einer Ultrafilterkonstruktion los, um einen Faktor in die Aequivalenzklasse der Null zu bekommen. Das sprengt allerdings den Rahmen einer Einfuehrung. Es sollte auf jeden Fall erwaehnt werden, dass diese Konstruktion von Infinitesimalen von Abraham Robinson eingefuehrt wurde.

Im uebrigen sei auf den Vatikan-Vortrag des NSA-IST-Erfinders Edward Nelson verwiesen, in welchem er einen recht zwanglosen Zugang zu i-kleinen Zahlen entwickelt.

http://www.math.princeton.edu/~nelson/papers/s.pdf

MfG Lutz Lehmann

Hab die erwähnten Probleme gelöst, indem ich den englischen Artikel übersetzt hab. Danke für den Hinweis auf dieses Problem. --SirJective 23:08, 21. Dez 2003 (CET)

Der Artikel beinhaltet aber noch weitere Unklarheiten. Z.B. folgende Aussage:

"Eine weitere Eigenschaft der reellen Zahlen, die sich nicht auf die hyperreellen überträgt, ist die Dedekind-Vollständigkeit: Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von R hat eine obere Grenze. Diese Forderung charakterisiert die Menge der reellen Zahlen eindeutig: Jeder Dedekind-vollständige Körper ist isomorph zu R."

Was ist eine obere Grenze? Das gleiche wie ein Supremum? Der Begriff obere Grenze bzw. Supremum sollte hier definiert werden (kleinste obere Schranke). Sonst besteht die Gefahr, daß obere Grenze evtl. als obere Schranke interpretiert werden könnte, und die Definition der Dedekind-Vollständigkeit macht dann keinen Sinn mehr.

Desweiteren sollte erwähnt werden, daß der Begriff der Dedekind-Vollständigkeit ein Begriff für geordnete Körper ist. Q ist z.B. nicht Dedekind-Vollständig, während der Begriff für komplexe Zahlen nicht anwendbar ist.

MfG Marco Merten

PS In der Formalisierung der Dedekind-Vollständigkeit wird gesagt, es existiert ein a aus R, welches aber nicht weiter verwendet wird. Es sollte besser in der Formalisierung noch erwähnt werden, daß über die nach oben beschränkten Teilmengen aus R quantifiziert wird.

"Obere Grenze" ist offenbar ein Synonym für Supremum, vgl. dort.--Gunther 15:19, 4. Jan 2006 (CET)

[Bearbeiten] Verständnis

Verstehe ich die hyperreelen Zahlen in der Form richtig, dass 0,9999... (Periode) = 1 nicht zutrifft, da sich eben doch Zahlen finden lassen, die diesen unendliche kleine Bereich bevölkern. Zu Erklärung: habe selber Mathematik studiert (allerdings ohne Abschluss) und letztens einen Artikel zu diesem Thema gelesen. --finanzer 01:46, 6. Sep 2004 (CEST)

Das ist ein sehr interessantes Thema, auf dem ich leider nur Laie bin. Trotzdem glaube ich, diese Zahlen weit genug verstanden zu haben, um deine Frage beantworten zu können:

Man muss hier unterscheiden zwischen der reellen Zahl 0,99999... = 1, und der hyperreellen Zahl, nennen wir sie p9, die von der Folge

repräsentiert wird (jedes Glied dieser Folge ist also ein abbrechender Dezimalbruch). p9 ist keine reelle Zahl, sondern eine hyperreelle Zahl, die kleiner ist als 1, aber größer als jede beliebige reelle Zahl welche kleiner als 1 ist. Zwischen p9 und 1 gibt es unendlich viele weitere hyperreelle Zahlen, z.B.

.

Beachte auch, dass hyperreelle Zahlen selbst keine Dezimalbruchentwicklung haben. --SirJective 02:14, 6. Sep 2004 (CEST)

Danke für Infos. Gruss --finanzer 10:11, 6. Sep 2004 (CEST)

[Bearbeiten] praktische Anwendung

Hallo ich will zugeben, dass ich den Artikel fast nicht verstehe. Meine Frage geht eher um die "praktische Anwendung". Sehe ich das richtig, dass hyperreelle und surreale Zahlen bei allen physikalischen oder sonstigen Anwendungen umgangen werden können? --Villa-Lobos 19:50, 21. Feb 2005 (CET)

[Bearbeiten] Wohlgeformtheit

Wie definiert der Artikel "Wohlgeformtheit", wenn er aussagt:

Zum Beispiel gibt es in *R ein Element w mit der folgenden Eigenschaft:

1 < w, 1+1 < w, 1+1+1 < w, 1+1+1+1 < w, ...

Eine solche Zahl gibt es in R nicht. Dieser Unterschied ist möglich, da die angegebene Eigenschaft

nicht durch eine wohlgeformte Formel ausdrückbar ist, denn diese Formel quantifiziert über N.

Ich habe mit dieser Aussage eine erste Erweiterung des Artikels Wohlgeformtheit gemacht, ohne selbst zu verstehen, was gemeint ist. --Eldred 11:31, 5. Mär 2005 (CET)

"Wohlgeformt" heißt in etwa "gemäß bestimmten Zusatzregeln geformt", und ist kontextabhängig. Es gibt keine "wohlgeformte Formel", der neuangelegte Artikel ist also ... unschön ;)

Die Definition im Kontext der hyperreellen Zahlen ist im Artikel angegeben.

Der Begriff "wohlgeformt" tritt noch in anderen Bereichen auf. Mir fällt da jetzt nur die Verwendung bei surreale Zahl ein, wo man von "wohlgeformten Zahlen" spricht (eigentlich missbräuchlich, denn "nicht wohlgeformtes" wird nicht als Zahl bezeichnet).

Siehe auch [1] ;) --SirJective 21:16, 5. Mär 2005 (CET)

Die Definition im Kontext der hyperreellen Zahlen ist im Artikel angegeben. - Das hilft mir nicht weiter. Ich habe meine Frage ja aufgrund der Lektüre gestellt. Worauf beziehst du dich im Artikel?

Und sollte die alte Version des Artikels Wohlgeformtheit wieder rein? --Eldred 17:19, 6. Mär 2005 (CET)

Eins vorneweg: Der Artikel ist in seinem jetzigen Zustand immer noch sehr unvollständig und erwähnt wesentliche Teile der Theorie der hyperreellen Zahlen nicht. Im Artikel Nichtstandardanalysis steht auch noch sehr wenig davon.

Ich beziehe mich auf den zweiten Absatz von "Eigenschaften":

Eine logische Aussage der Prädikatenlogik erster Stufe heißt im Kontext der Nichtstandard-Analysis wohlgeformt, wenn sie nur bestimmte grundlegende Verknüpfungen (Grundrechenarten, Vergleich) und natürliche Zahlen enthält und nur über reelle Zahlen quantifiziert (siehe Allquantor, Existenzquantor; insbesondere darf sie nicht über Elemente einer echten Teilmenge von R oder über Mengen von reellen Zahlen quantifizieren).

Das ist zwar keine mathematisch komplette Definition, aber es sollte ungefähr klar sein, was gemeint ist. Die Details sind mir selbst unbekannt, da kann ich dir nur eine Recherche empfehlen.

Die Beschränkung auf wohlgeformte Formeln liegt begründet in einem Prinzip, das leider noch nicht im Artikel erwähnt wird: Das Transferprinzip. Das hat einen eigenen Abschnitt verdient.

Das Transferprinzip besagt folgendes: Nimm eine wahre wohlgeformte Formel, ersetze jedes Vorkommen von R durch *R, und du bekommst eine wahre Formel. Den Beweis davon hab ich noch nicht gesehen, er ist aber angeblich nicht leicht.

Die Aussage selbst steht dagegen schon im Artikel: "Die hyperreellen Zahlen sind auf eine solche Weise definiert, dass jede wohlgeformte Aussage auch zutrifft, wenn man sie über hyperreelle Zahlen quantifiziert."

Es gibt nun eine Möglichkeit, zu einer Teilmenge von R eine Teilmenge von *R zu definieren: Für eine Teilmenge A von R sei *A die Teilmenge von *R, die aus allen Äquivalenzklassen von Folgen in A besteht. Z.B. besteht *N aus allen Äquivalenzklassen von Folgen natürlicher Zahlen.

Ich sehe gerade, dass w bisher im Artikel noch gar nicht definiert wurde. Üblicherweise setzt man w = (1, 2, 3, ...) oder w = (0, 1, 2, 3, ...), das ist je nach Autor verschieden. (Dies sind zwei hyperreelle Zahlen, deren erste um genau 1 größer ist als die zweite...) Es sollte nicht schwer sein, zu erkennen, dass w > n für jede natürliche Zahl n ist. Da w ein Element von *N ist, könnte man diese hyperreelle Zahl eine "hypernatürliche Zahl" nennen.

Mit dieser Definition kann man auch Formeln transferieren, die über Teilmengen von R quantifizieren: Nimm eine wahre Formel, die im obigen Sinne wohlgeformt ist, mit dem einzigen Unterschied, dass nun auch Teilmengen von R als Quantorenbereiche zugelassen sind. Ersetze in dieser Formel jeden Quantorenbereich A durch *A, und du erhältst eine wahre Aussage.

Die Formel "für alle n in N: n < w" erfüllt diese Bedingung nicht, denn sie enthält die Zahl w, die keine reelle Zahl ist (ob man sich tatsächlich auf natürliche Zahlen beschränken muss, weiß ich nicht, kann ich mir aber gut vorstellen). Sie ist sozusagen eine Mischformel: Sie quantifiziert über eine Standardmenge (N) und enthält eine Nichtstandardzahl (w).

Die wahre Aussage "für alle x in R: existiert n in N: x < n" ist aber wohlgeformt im erwähnten allgemeineren Sinn, sie führt zur wahren Aussage "für alle x in *R: existiert n in *N: x < n". Es ist also jede hyperreelle Zahl durch eine hypernatürliche Zahl beschränkt.

Ausführlichere Informationen findest du in en:Non-standard_analysis und im inzwischen erweiterten englischen Artikel Hyperreal_number (der im Dezember 2003 meine Hauptquelle für den deutschen Artikel war).

--SirJective 18:10, 6. Mär 2005 (CET)

[Bearbeiten] Wahl des Ultrafilters

Genau an der spannenden Stelle der Konstruktion der hyperrellen Zahlen steige ich aus, weil zu wenig da steht. Je nach Wahl des Ultrafilters erhält man für manche hyperrellen Zahlen e<f oder auch mal f<e. Trotzdem kann man angeblich zeigen, dass die konkrete Wahl des Ultrafilters irrelevant ist, sagt der Text. Wie passt das zusammen?--JFKCom 14:54, 18. Aug 2005 (CEST)

Hi, weil es nur um die Äquivalenzklassen geht. Und ob nun e oder f zur Klasse der Folge 1:=[(1,1,1,...)] gehört, ändert nichts daran, dass Klassenweise 0<1 gilt. -- LutzL 17:10, 18. Aug 2005 (CEST)

Sorry, hab's immer noch nicht kapiert. Ich muss genauer fragen. Nehmen wir die alternierenden Folgen und . Habe ich richtig verstanden, dass beide zu den hyperreellen Zahlen gehören? Dann habe ich die Ausführung so verstanden, dass ein Ultrafilter e < f, ein anderer e > f zur Folge haben kann. Soll ich das so verstehen, dass jeder Ultrafilter einen der beiden von e,f in die Äquivalenzklasse [0] und den anderen in die Klasse [1] bugsiert? Und vor allem: Inwiefern ist das dann alles unabhängig von der Wahl des Ultrafilters?--JFKCom 17:35, 18. Aug 2005 (CEST)

Die reellen Zahlenfolgen e und f sind nicht selbst hyperreelle Zahlen, sie sind lediglich Repräsentanten. Die hyperreellen Zahlen selbst sind Äquivalenzklassen reeller Zahlenfolgen.

Je nach Wahl des Ultrafilters ist entweder [e] = [0] und [f] = [1] oder [e] = [1] und [f] = [0]. Für beide Ultrafilters gilt aber [0] < [1]. Letztere Ungleichung ist unabhängig von der Wahl des Filters, die genaue Zuordnung reeller Zahlenfolgen zu Äquivalenzklassen hängt vom Filter ab.

Die im Artikel verwendete Schreibweise "0 = e < f = 1" mißbraucht das Gleichheitszeichen, um die Äquivalenz der Zahlenfolgen - also die Gleichheit der Äquivalenzklassen - auszudrücken. Dies ist aber genauso üblich, wie es üblich ist, "1/2 = 3/6" zu schreiben: Obwohl das Paar (1,2) verschieden vom Paar (3,6) ist, sind es Repräsentanten derselben rationalen Zahl.

Vielleicht gelingt es dir, diese Auskunft nachvollziehbar in den Artikel zu integrieren. :) --SirJective 23:43, 18. Aug 2005 (CEST)

Nach einigem Nachdenken: Kann es sein, dass die hyperrellen Zahlen nichts weiter als das nackte Ultraprodukt von Kopien des sind? Wenn ja, dann könnten wir den Artikel ganz schön kleindampfen.--JFKCom 23:34, 19. Aug 2005 (CEST)

Ja, es scheint so zu sein. Ich halte aber die relativ ausführliche Konstruktion der hyperreellen Zahlen für hilfreich für das Verständnis. Wenn man von der Geschichte mit den wohlgeformten Formeln absieht, kann man die Konstruktion der hyperreellen Zahlen ganz ohne Modelltheorie durchführen. Man sollte natürlich - wie ich es gerade im englischen Artikel lese - den theoretischen Hintergrund mitgeben (d.h. erklären, wie wir hier Artikel eine Ultrapotenz konstruieren).

Wie oben schon geschrieben, fehlt der modelltheoretische Aspekt (z.B. eine präzise Definition der wohlgeformten Formeln und eine Beschreibung des Transferprinzips) noch im Artikel. --SirJective 00:22, 20. Aug 2005 (CEST)

Und wie mir auch noch aufgefallen ist: Genau die Stelle mit 0,e,f,1 ist die kritische. Im Eintrag Ultraprodukt steht hierzu, dass es sehr wohl auf die Wahl des Ultrafilters ankommt u. man je nachdem ein anderes Ultraprodukt erhält. Genau hier ergibt der etwas flapsige Oma-Stil der Herleitung offenbar eine klassische Bauchlandung. Weswegen ich hier vor einem kräftigen edit im Artikel zurückschrecke, ist, weil ich dann auch kräftig den Rotstift ansetzen würde (was sagt einem etwa das Beispiel pi=(pi,pi,pi...), wenn kurz vorher schon r=(r,r,r...) alles klarstellt?)--JFKCom 22:43, 20. Aug 2005 (CEST)

Dass das Ergebnis nicht vom Ultrafilter abhaengt ist meines Wissens NICHT bewiesen. Man weiss, dass alle so konstruierten Modelle unter CH unabhaengig von der Wahl des Ultrafilters isomorph sind, ohne CH ist die Frage aber zumindest laut Goldblatt noch ungeklaert!

Nachtrag: Im englischen Wikipedia steht, dass mittlerweile geklaert sei, dass die Eindeutigkeit der Konstruktion aequivalent zu CH ist, allerdings ohne Quellenangabe.