Dichtefunktion

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Der Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, oft kurz Wahrscheinlichkeitsdichte oder nur Dichte (abgekürzt WDF oder pdf von engl. probability density function), ist eng mit dem Begriff der stetigen Zufallsvariablen verknüpft: Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist ein Hilfsmittel, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass eine stetige Zufallsvariable zwischen zwei reellen Zahlen $a$ und $b$ liegt.

Einfache zufällige Prozesse lassen sich durch die konkrete Angabe von Wahrscheinlichkeitsräumen modellieren, d. h. durch Angabe einer Menge $Ω$ von Elementarereignissen und eines Wahrscheinlichkeitsmaßes $P$ , das Ereignissen, also Teilmengen von $Ω$ , eine Wahrscheinlichkeit zwischen $0$ und $1$ zuordnet. Enthält $Ω$ nur endlich oder höchstens abzählbar viele Elemente $ω$ , die alle eine Wahrscheinlichkeit $q (ω)$ besitzen, so ist $P$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn man für $A\subseteq \Omega$

$P(A)=\sum_{\omega \in A}q(\omega)$

definiert. Im Fall, dass $Ω$ überabzählbar viele Elemente enthält, wird die Angabe eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf ähnliche Weise nicht möglich sein. Man kann zeigen, dass einzelne Elementarereignisse aus $Ω$ nun keine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit haben. Um dennoch praktikabel entsprechende Zufallsexperimente modellieren zu können, führt man die Begriffe der Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeitsdichte ein. Eine Abbildung $X:\Omega \rightarrow \R$ wird Zufallsvariable genannt. Sie heißt stetig, wenn ihr Bild $\{X(\omega):\omega \in \R\}$ ganz $\R$ ist. Eine Funktion $f_X:\R \rightarrow \R$ heißt nun Wahrscheinlichkeitsdichte von $X$ , falls gilt

$P(\{\omega:a<X(\omega)<b\})=\int_a^bf_X(t)\mathrm dt.$

Für $P ({ω: a < X (ω) < b})$ schreibt man oft kurz $P (a < X < b)$ .

Ist die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen bekannt, muss $Ω$ nicht explizit angegeben werden. Der zufällige Prozess wird dann nicht mehr durch $Ω$ und $P$ modelliert, sondern alle interessierenden Wahrscheinlichkeiten können mit dem Integral über die Dichtefunktion berechnet werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Eigenschaften

[Bearbeiten] Eigenschaften

Mathematisch gesehen ist die Funktion $f$ somit eine Dichte (siehe Satz von Radon-Nikodym) der Verteilung von $X$ bezüglich des Lebesgue-Maßes. Eine solche Dichte existiert genau dann, wenn

$P(X \in N) = 0$

für jede Borel-Nullmenge $N$ (Satz von Radon-Nikodym).

Die Stetigkeit der Verteilungsfunktion bzw. die Eigenschaft $P (X = x) = 0$ für alle $x$ ist hierfür notwendig, aber nicht hinreichend. Beispielsweise läßt sich eine Zufallsvariable konstruieren, die als Werte nur Zahlen annimmt, deren Ziffern in der Menge $1,2,3,4,5,6$ liegen (etwa die Zahl 0,5364142...). Diese Zufallsvariable besitzt eine stetige Verteilungsfunktion, aber keine Dichte, da die Ziffern 7, 8, 9, 0 nicht vorkommen (vgl. Cantor-Menge).

[Bearbeiten] Zusammenhang von Verteilungsfunktion und Dichtefunktion

Die Verteilungsfunktion $F$ erhält man als Integral über die Dichtefunktion:

$F(x) \, = \, \int_{-\infty}^x f(t)\,\operatorname dt$

Umgekehrt gilt: Wenn die Verteilungsfunktion $F$ differenzierbar ist, ist ihre Ableitung eine Dichtefunktion der zugehörigen Verteilung:

$f(x) \, = \, F^\prime(x) \, = \, \frac{\operatorname{d}F(x)}{\operatorname{d}x}$

Das gilt auch dann noch, wenn es abzählbar viele Stellen $x$ gibt, an denen $F$ stetig, aber nicht differenzierbar ist; welche Werte man an diesen Stellen für $f (x)$ verwendet, ist unerheblich.

Beispiel

Verteilungsfunktion und Dichtefunktion der Lognormalverteilung (mit $μ = 0$ )

[Bearbeiten] Normierung

Die Fläche unter der Dichtefunktion muss immer den Inhalt 1 besitzen, d. h.

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, {\rm d}x = 1$ .

[Bearbeiten] Mehrdimensionale Zufallsvariable

Der Begriff der Verteilungsfunktion kann auch auf mehrdimensionale Zufallsvariablen, d.h. Zufallsvariablen, die Vektorwerte annehmen, erweitert werden: Hier ist in der Notation $F(x)=P(X\leq x)$ das $x$ ein Vektor und das $\leq\,$ -Zeichen komponentenweise zu lesen. $F$ ist also hierbei eine Abbildung von $\R^n\,$ in das Intervall [0,1]. Wenn $F$ eine differenzierbare Funktion ist, entsteht die Dichte durch partielle Differentiation:

$f:= \frac{\partial^n F(x_1,x_2, \ldots, x_n)}{\partial x_1 \cdots \partial x_n},$

dann erfüllt $f$ die Identität

$\int_{a_1}^{b_1} \cdots \int_{a_n}^{b_n} f(x_1, \ldots, x_n)\ \mathrm{d}x_n \cdots \mathrm{d}x_1 = P(X \in [a_1,b_1] \times \cdots \times [a_n,b_n]).$