Asociativita

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Asociativita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace, říkající, že nezáleží na tom, v jakém pořadí operace provádíme, pokud se jich vedle sebe vyskytne více (například násobíme nebo sčítáme tři (čtyři …) čísla).

[editovat] Definice

Binární operace * je na množině S asociativní, jestliže platí

(x * y) * z = x * (y * z)

pro každé x, y a z v S.

Je jasné, že asociativní může být jen operace, jejíž výsledek je stejného typu jako její operandy.

[editovat] Příklady asociativity

Nejznámější příklady asociativních binárních operací jsou sčítání (a + b) a násobení (a × b) reálných čísel.

(2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13 = 2 + 11 = 2 + (3 + 8)

(7 × 3) × 2 = 21 × 2 = 42 = 7 × 6 = 7 × (3 × 2)

Další ukázky asociativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, sčítání vektorů na reálných vektorových prostorech, průnik a sjednocení množin, operace maximum a minimum.

Mezi binární operace, které nejsou asociativní, patří například odčítání (a − b), dělení (a : b), umocňování (a^b).

$2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1$ .

$2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3$

U neasociativních operací je tedy třeba buď důsledně závorkovat, nebo se dohodnout na implicitním pořadí provádění operací – pak se někdy mluví o operacích asociativních zleva či asociativních zprava. Z předvedených příkladů je odčítání levě asociativní, výraz 10 − 5 − 3 se chápe jako (10 − 5) − 3, naopak umocňování je asociativní zprava, $2^{3^4} = 2^{\left(3^4\right)}$ (neboť levá asociativita by u mocnění byla neužitečná – stejného výsledku lze díky pravidlům pro mocniny zapsat pomocí součinu exponentů: $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4}$ ).