Equació diofàntica

De Viquipèdia

Una equació diofàntica és un equació per a la qual només es permeten solucions enteres. El seu nom fa referència al matemàtic grec Diofant d'Alexandria, un dels primers a estudiar aquest tipus de problemes.

A més del problema de trobar les solucions d'una equació diofàntica particular, no és evident la mateixa existència de les solucions. Existeix un algoritme general per trobar les solucions d'una equació diofàntica de primer ordre, però no per a ordres superiors. Aquest problema general ha estat sense obtenir una resposta definitiva durant molts segles i David Hilbert l'inclogué com un dels seus famosos 23 problemes. El 1970 Yuri Matiyasevich demostrà finalment que és impossible obtenir una solució general per una equació diofàntica d'ordre qualsevol.

[edita] Alguns exemples

• ax + by = c: S'anomena identitat de Bézout. Aquestes equacions es poden resoldre completament i la primera solució coneguda es deu al matemàtic indi Brahmagupta.
• xⁿ + yⁿ = zⁿ: Per a n = 2 hi ha infinites solucions (x,y,z), les tripletes pitagòriques. Per a valors superiors de n, l'últim teorema de Fermat n'assegura la inexistència de solucions.
• x² − n y² = 1: Anomenada equació de Pell. Té infinites solucions que són una bona aproximació racional a l'arrel quadrada de n.
• , on i : S'anomenen equacions de Thue i, en general, tenen solució.