Teorema de Pitàgores

De Viquipèdia

El teorema de Pitàgores estableix que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets (els costats que formen l'angle recte) és igual al quadrat de la hipotenusa (l'altre costat).

Expressat matemàticament;

a² + b² = c²

Taula de continguts 1 Demostracions 1.1 Primera demostració 1.2 Segona demostració 2 Relació amb el teorema del cosinus 3 Altres conceptes relacionats 4 Existència anterior

[edita] Demostracions

[edita] Primera demostració

Suposem el triangle de catets a i b (formant un angle recte) i la hipotenusa c. Es tracta de demostrar que l'àrea del quadrat de costat c és igual a la suma de les àrees dels quadrats de costat a i costat b.

Si afegim tres triangles iguals a l'original al voltant del quadrat de costat c formant la figura mostrada en la imatge, obtenim un quadrat. En efecte, si la figura central de costat c primerament dibuixada és un quadrat, els seus costats formaran angles rectes, llavors, si girem el triangle original 90 graus al voltant del centre del quadrat, vindrà a ocupar un posició perpendicular a l'original, de mode tal que el costat a serà col·lineal al costat b i viceversa, formant-se un quadrat de costat a+b.

L'àrea d'aquest quadrat pot expressar-se de dues maneres:

• El quadrat del costat:

A = (a+b)² = a² + 2·a·b + b²

• Suma del quadrat original i els triangles afegits:

A = c² + 4·(a·b/2) = c² + 2·a·b

Igualant ambdós expressions:

a² + 2·a·b + b² = c² + 2·a·b

i simplificant:

a² + b² = c² , com volíem demostrar.

[edita] Segona demostració

Esta prova és la traducció, en llenguatge matemàtic actual, de la ideada pel mateix Pitàgores que va emprar la figura següent:

Al voltant del triangle ABC, es construeixen tres quadrats: el roig, d'àrea a², el blau d'àrea b², i el bicolor verd ataronjat, d'àrea c².

• Els triangles rectangles ABC i HBC són semblants (o similars) perquè comparteixen el mateix angle B. Per tant tenim la igualtat dels quocients: BH / BC = BC / BA, és a dir a'/a = a/c (hui en dia , es diria que el seu valor és el sinus de B).

Pel producte creuat: a² = a' · c (és el que es coneix com a teorema del catet), o siga que les àrees roja i ataronjada són iguals.

• De la mateixa manera, a partir dels triangles ABC i HAC i aplicant de nou el teorema del catet, es dedueix que b'/b = b/c (senet A) i després b² = b' · c , o siga que les àrees blaves i verda són iguals.

Sumant les àrees roja i blau, obtenim les àrees ataronjades i verda, és a dir: a² + b² = c·a' + c·b' = (a' + b')c = c²

Aquesta prova utilitza el teorema de Tales, un cas particular dels triangles semblants, teorema que només és vàlid en els espais euclidians (sense curvatura).

[edita] Relació amb el teorema del cosinus

D'acord amb el teorema del cosinus, i segons la notació del triangle de la imatge adjunta, es compleix que:

Pel cas concret d'un triangle rectangle, l'angle γ val 90º. Com que el cosinus de 90º val zero, l'últim terme de l'equació s'anul·la i s'obté l'expressió del teorema de Pitàgores.

Així doncs, es pot dir que el teorema de Pitàgores és un cas particular del teorema del cosinus per triangles rectangles.

[edita] Altres conceptes relacionats

Els terns pitagòrics són conjunts de tres nombres sencers positius que satisfan el teorema de Pitàgores: la suma dels quadrats dels dos primers és igual al quadrat de l'últim. Exemples de terns pitagòrics són

{3, 4, 5}

{5, 12, 13}

{8, 15, 17}

L'existència d'almenys un tern per a qualsevol exponent natural (no només el quadrat) és el Teorema de Fermat.

Els terns pitagòrics van ser utilitzats profusament pels egipcis en les seves construccions. Els triangles formats amb terns pitagòrics eren de fàcil construcció, i permetien dibuixar angles rectes només utilitzant nombres naturals. Es per això que als triangles formats per terns pitagòrics se'ls anomena triangles egipcis.

[edita] Existència anterior

El teorema de Pitàgores va ser conegut per moltes cultures anteriors o, en tot cas, sense la influència de Pitàgores.

Existeix una tauleta d'argila coneguda com a "Plimpton 322" i datada aproximadament del 1200 a.c. de l'època Babilònica. La tauleta conté 4 columnes amb números escrits amb escriptura cuneïforme. Al principi, es creia que es tractava d'una simple transacció comercial, però O. Neugebauer i A. Sachs van publicar al 1945, una transcripció, on en una de les interpretacions que feien d'aquesta tauleta, era que complien els terns pitagòrics (amb algun error de transcripció).

També es sap per les seves construccions que els egipcis utilitzaven el teorema de Pitàgores per fer triangles rectangles amb nombres naturals, i també per construir geomètricament nombres irracionals com el nombre d'or o arrels de nombres naturals.

Més endavant, per l'any 300 a.C.en la Proposició 47, del llibre I, dels Elements d'Euclides, apareix el teorema de Pitàgores, amb la segona demostració. No se sap qui va realitzar aquesta demostració, ja que Euclides es va dedicar a recollir tota la matemàtica de l'època i perfeccionar-la, sense deixar-se cap fissura, amb la finalitat de tenir tota la matemàtica existent en l'univers, tancada dins d'una sola obra.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Teorema de Pitàgores