Regla Pýþagórasar

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Regla Pýþagórasar er regla í evklíðskri rúmfræði sem fjallar um tengslin milli lengda hliðanna í rétthyrndum þríhyrningi. Reglan er kennd við forngríska heimspekinginn, trúarleiðtogann og stærðfræðinginn Pýþagóras, þó að vitað sé að reglan hafi þekkst fyrir tíma hans bæði í Babýlóníu og Kína, en talið er að hann hafi verið fyrstur til að sanna að hún gilti fyrir alla rétthyrnda þríhyrninga.

Reglan er grundvallarregla í ýmsum rúmfræðireikningi, t.a.m. hnitarúmfræði og hornafræði.

[breyta] Reglan

Ef gefinn er rétthyrndur þríhyrningur segir reglan til um að ef lögð eru saman önnur veldi skammhliða þríhyrningsins jafngildi sú summa öðru veldi langhliðarinnar.

Setja má regluna fram sem svo að ef smíðaðir eru þrír ferningar, þar sem hver hinna þriggja hliða þríhyrningsins jafngildir hliðarlengd eins fernings, er samanlagt flatarmál minni ferninganna tveggja jafnt flatarmáli þess stærsta.

Framsetning reglunnar á algebraískan máta er: , þar sem a og b eru skammhliðar og c er langhlið.

[breyta] Sönnun

Látum þríhyringinn ABC tákna rétthyrndan þríhyrning (sjá mynd að neðan) þar sem hornið C er rétt. Frá horninu C er dregin lína hornrétt á hliðina AB sem mætir AB í punktinum X. Þá myndast tveir nýir þríhyrningar, ACX og CBX. Þessir þríhyrningar og ABC eru allir einslaga.

Nefnum nú hliðarnar BC, AC og AB a, b og c í þeirri röð. Vegna einslögunar þríhyrninganna gildir svo:

og því hægt að skrifa

Ef lagt er saman a og b þá fæst

Þar sem getum við skrifað

Sem einmitt er regla Pýþagorasar

Sönnun lokið.

[breyta] Ítarefni

Í bókinni Pythagorean Triangles (Trójkaty pitagorejskie) sýndi Waclaw Sierpinski fram á að til væru óendanlega margir þríhyrningar gerðir úr heiltölum. Þessir þríhyrningar eru kallaðir pýþagórískir þríhyrningar. Einnig er talað um pýþagórískar þrenndir, en þær eru talnaþrenndir, (a,b,c) þar sem a, b og c eru heilar og pósitífar tölur, sem uppfylla skilyrðið a² + b² = c².