Stochastik

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Die Stochastik (altgr. στόχος stóchos „Vermutung“) ist ein Teilgebiet der Mathematik und fasst als Sammelbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zusammen.

Die historischen Aspekte werden im Artikel Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung dargestellt.

Inhaltsverzeichnis

1 Überblick
2 Wichtige Begriffe
- 2.1 Integritätsbedingungen
- 2.2 Einfache Beispiele
3 Unmögliche Ereignisse
4 Laplace-Experimente
5 Sicheres Ereignis
6 Begriffe aus der Stochastik
7 Bereiche der Stochastik
8 Beispiele
9 Literatur
10 Weblinks

[Bearbeiten] Überblick

Der Begriff Stochastik stammt aus dem Griechischen und heißt soviel wie „Kunst des Mutmaßens“. Mathematische Stochastik beschäftigt sich mit der Beschreibung und Untersuchung von Zufallsexperimenten wie zum Beispiel Würfeln oder Münzwurf sowie vom Zufall beeinflusste zeitliche Entwicklungen und räumliche Strukturen.

Solche Ereignisse, Entwicklungen und Strukturen werden oft durch Daten dokumentiert, für deren Analyse die Statistik geeignete Methoden bereitstellt. Mit Hilfe der Stochastik kann man etwa die Wahrscheinlichkeit für Lottogewinne berechnen oder die Größe des möglichen Fehlers bei Meinungsumfragen bestimmen. Die Stochastik ist auch für die Finanzmathematik von Bedeutung und hilft mit ihrer Methodik beispielsweise bei der Preisfindung für Optionen.

[Bearbeiten] Wichtige Begriffe

Die Prognose ist dabei

ein Maß für die Unsicherheit zukünftiger Ereignisse,
ein Maß für den Grad an persönlicher Überzeugung (Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff), also letztlich eine Erweiterung der Aussagenlogik.

Wahrscheinlichkeit beim deutschen Lotto

Wahrscheinlichkeiten werden mit dem Buchstaben „P“ (von frz. probabilité, eingeführt von Laplace) oder „W“ dargestellt.

Wahrscheinlichkeiten tragen keine Einheit, sondern sind Zahlen zwischen Null und Eins, wobei Null und Eins zulässige Wahrscheinlichkeiten sind. Deshalb können sie als Prozentangaben (20 %), Dezimalzahlen (0,2), Brüche (2/10) oder Quoten (2 von 10) angegeben werden. Möglich ist auch die Angabe als Verhältniszahlen (2 zu 8).

Falls es nur endlich viele mögliche Versuchsausgänge eines Zufallsexperiments gibt, gilt ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0 als unmöglich, eines mit der Wahrscheinlichkeit 1 als sicher.

Führt man ein Zufallsexperiment mehrmals hintereinander durch, so kann die relative Häufigkeit eines Ereignisses errechnet werden, indem man die absolute Häufigkeit, also die Anzahl geglückter Versuche, durch die Anzahl der unternommenen Versuche dividiert. Für eine unendliche Anzahl von Versuchen geht diese relative Häufigkeit in die Wahrscheinlichkeit über. In der Praxis wird die Anzahl der für eine annehmbare Übereinstimmung von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit nötigen Versuche oft unterschätzt.

[Bearbeiten] Integritätsbedingungen

$P(\Omega)=1\,$ . Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, das alle möglichen Versuchsausgänge umfasst, ist 1.
$P(\emptyset)=0$ . Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0.
$0 \leq P(A) \leq 1$ . Alle Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen Null und Eins.
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ . Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses und die seines Nichteintretens addieren sich zu Eins.
$\sum_{i=1}^n P(A_i) = 1$ . In einem vollständigen System von Ereignissen $A i$ (hierfür müssen alle $A i$ paarweise disjunkt sein und ihre Vereinigungsmenge gleich $Ω$ sein) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich 1.

[Bearbeiten] Einfache Beispiele

Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Münzwurf das Wappen zu bekommen, beträgt beim ehrlichen Wurf einer Münze 0,5 (wenn man ausschließt, dass die Münze auf dem Rand stehenbleiben kann)
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem idealen Würfel (Laplace-Würfel) eine Vier zu würfeln, beträgt 1/6 = 0,16666…

[Bearbeiten] Unmögliche Ereignisse

Dass einem Ereignis die Wahrscheinlichkeit Null zugeordnet wird, heißt nicht, dass dessen Eintritt prinzipiell unmöglich ist.

Dies wird durch folgendes Beispiel veranschaulicht: In einem Zufallsexperiment wird eine beliebige reelle Zahl zwischen 0 und 1 gezogen. Es wird davon ausgegangen, dass jede Zahl gleich wahrscheinlich sei – es wird also die Gleichverteilung auf dem Intervall $[0,1]$ vorausgesetzt. Dann ist, da es in dem Intervall unendlich viele Zahlen gibt, für jede einzelne Zahl aus dem Intervall die Eintrittswahrscheinlichkeit gleich Null, dennoch ist jede Zahl aus $[0,1]$ als Ziehungsergebnis möglich.

Ein unmögliches Ereignis ist im Rahmen dieses Beispiels etwa die Ziehung der 2, also das Elementarereignis ${2}$ .

[Bearbeiten] Laplace-Experimente

Als Laplace-Experimente, benannt nach dem Mathematiker Pierre Simon Laplace, werden Zufallsexperimente bezeichnet, für die folgende beiden Punkte erfüllt sind:

Es gibt nur endlich viele mögliche Versuchsausgänge
Alle möglichen Ausgänge sind gleichwahrscheinlich.

[Bearbeiten] Beispiele

Einfache Beispiele für Experimente, die Laplace-Experimente sind:

Das Würfeln eines Würfels
Werfen einer Münze (Wenn man davon absieht, dass sie auf dem Rand stehenbleiben könnte)
Lottozahlen

Beispiele für Experimente, die keine Laplacschen sind:

Ziehen von Zahlen unter Beobachtung, ob sie prim oder zusammengesetzt sind
Beobachten, ob am nächsten Tag die Sonne scheinen wird.

[Bearbeiten] Berechnung von Laplace-Experimenten

Die Wahrscheinlichkeit P eines Laplace-Experimentes berechnet sich nach

P(E) = (Anzahl der "gewollten" Versuchsausgänge) / (Anzahl der möglichen Versuchsausgänge)

Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem idealen Würfel eine Primzahl zu würfeln? Die "gewollten" Versuchsausgänge sind also: Würfeln einer 2, 3 oder 5, also 3 verschiedene Möglichkeiten. Die möglichen Versuchsausgänge sind 1, 2, 3, 4, 5, und 6 , also 6 Möglichkeiten. Also:

P(Primzahl würfeln) = 3/6 = 1/2 = 0,5.

[Bearbeiten] Komplementäres Ereignis

Das Komplementärereignis eines Ereignisses in einem Zufallsexperiment ist das Ereignis, dass das Kriterium des Ereignisses nicht erfüllt wird. Die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses ist komplemetär an der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst, also zusammen sind sie 1.

[Bearbeiten] Sicheres Ereignis

Ein Ereignis wird sicher genannt, wenn es die Wahrscheinlichkeit 1 hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein unmögliches Ereignis nicht eintritt, ist 1 und es handelt sich um ein sicheres Ereignis.

Einfache Beispiele sind:

Das Ereignis, bei einem "normalen" Würfel keine "7" zu würfeln, ist sicher.
Das Ereignis, bei einem "normalen" Würfel eine natürliche Zahl zu würfeln, ist sicher