Inkommensurabilität (Mathematik)
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In der Mathematik heißen zwei Zahlenwerte a und b kommensurabel (lat. zusammen messbar), wenn sie ganzzahlige Vielfache einer geeigneten dritten Zahl c sind, also einen gemeinsamen Teiler besitzen. Diese Bezeichnung kommt daher, dass man sie dann mit einem gemeinsamen Maß c messen kann, indem man sie als ganze Vielfache von c darstellt. Gibt es kein auch noch so kleines gemeinsames Maß c, dann heißen sie inkommensurabel. Der Ausdruck (der auf Euklids Werk "Die Elemente" zurückgeht) bezieht sich direkt auf das geometrische Messen von Strecken mit tatsächlichen Maßlatten; insofern stellt er eine gute Erinnerung daran dar, dass die griechische Mathematik unmittelbar auf der anschaulichen Geometrie beruhte (deren "Anschaulichkeit" eben durch die Inkommensurabilität überschritten wurde).
Die Kommensurabilität zweier Zahlen a und b kann so notiert werden: Es gibt eine Zahl c, sodass 
Daraus folgt, dass ihr Verhältnis x eine rationale Zahl ist:
Sind zwei Zahlen dagegen inkommensurabel, dann ist ihr Verhältnis eine irrationale Zahl.
Die Existenz von inkommensurablen Strecken war eine Entdeckung der Pythagoreer und löste eine Grundlagenkrise der antiken Mathematik aus.[1]
[Bearbeiten] Beispiele
- Alle natürlichen Zahlen sind kommensurabel, denn sie haben das Vergleichsmaß c = 1.
- Alle Brüche sind kommensurabel, denn man kann sie auf einen Hauptnenner N bringen, und ein Vergleichsmaß ist dann
. - Inkommensurabel zu den Bruchzahlen sind dagegen alle Zahlen, die sich nicht als Brüche schreiben lassen.
- Die Seite a eines Quadrats und die Länge d seiner Diagonalen sind inkommensurabel, denn nach dem Satz des Pythagoras ist
, und die Annahme, dass dies eine Bruchzahl ist, lässt sich widerlegen. - Inkommensurable Strecken gibt es auch beim Fünfstern oder Pentagramm, nämlich die innere Strecke (BC) und die äußere Strecke (AD). Schon um 450 v. Chr. fand der Pythagoreer Hippasos einen Beweis dafür, dass es für diese Strecken kein gemeinsames Maß gibt.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Einzelnachweise
- ↑ Vgl. Johannes Irmscher / Renate Johne (Hgg.): Lexikon der Antike, 10. A., Leipzig: Bibliographisches Institut 1990, Art. Kommensurabilität, S. 306
