Pauli-Gleichung

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Die Pauli-Gleichung geht auf den österreichischen Physiker Wolfgang Pauli zurück. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung eines geladenen Spin-1/2-Teilchens, etwa eines Elektrons, das sich so langsam im elektromagnetischen Feld bewegt, dass die Feldenergie und die kinetische Energie klein gegen die Ruheenergie ist. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödinger-Gleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Mit diesem Term kann man das Verhalten von Silberatomen (ein Valenzelektron) verstehen. Fliegen sie durch ein inhomogenes Magnetfeld, so werden sie je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufgespalten (siehe Stern-Gerlach-Experiment).

Die Pauli-Gleichung lautet:

$\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi = \underbrace{ \left( \frac{(\vec p-\frac{q}{c} \vec A)^2}{2\, m} + q \,\phi \right)}_{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi - g\,\underbrace{\frac{q }{2\,m\,c}\,\hbar\,\frac{\vec{ \sigma}}{2} \cdot \vec B}_{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi\,.$

Hier bezeichnet

$\varphi=\begin{pmatrix}\varphi_\uparrow(t,\vec{x})\\ \varphi_\downarrow(t,\vec{x})\end{pmatrix}$ die zweikomponentige Ortswellenfunktion,
$p^i=-\mathrm i \hbar \partial_{x^i}\,,i\in\{1,2,3\}\,,$ die $i$ -te Komponente des Impulses,
$q$ die elektrische Ladung des Teilchens,
$c$ die Lichtgeschwindigkeit,
$m$ die Masse des Teilchens,
$φ$ das skalare elektrische Potential,
$\vec A$ das Vektorpotential,
$g$ den gyromagnetische Faktor,
$\vec{\sigma}$ die Pauli-Matrizen,
$\vec{S}=\hbar\,\frac{\vec{ \sigma}}{2}$ den Spin-Operator,
$\vec B=\text{rot}\,\vec{A}$ das Magnetfeld.

In einem schwachen, homogenen Magnetfeld $\vec{B}$ koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor $g$ stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls $\vec{L}\,,$

$\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi = \frac{\vec p^2}{2\, m} \varphi - \frac{q }{2\,m\,c}\,\bigl(\vec L + g \,\vec S\bigr) \cdot \vec B\,\varphi\,.$

Man erhält die Pauli-Gleichung als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die allgemein das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert $g = 2$ für den gyromagnetischen Faktor voraus. Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu

$g=2,002\,319\,304\,8(8)\,.$

Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.

[Bearbeiten] Herleitung der Pauli-Gleichung aus der Dirac-Gleichung

Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi_1\\ \varphi_2\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\, \vec \pi \,\varphi_2\\ \vec{\sigma}\, \vec \pi \,\varphi_1\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c} \varphi_1\\ \varphi_2\end{array} \right) + m\,c^2\, \left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\-\varphi_2\end{array} \right)$ mit $\vec \pi = \vec p - \frac{q}{c}\, \vec A$

unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruhenergie herrührt,

$\left( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \varphi_2 \end{array} \right) = \mathrm e^{-\mathrm i \frac{\displaystyle m\,c^2\,t}{\displaystyle \hbar}} \left( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right)$

die Zeitableitung der Zweierspinoren $\varphi$ und $χ$ klein ist.

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi\\ \chi\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\, \vec \pi \,\chi\\ \vec{\sigma}\, \vec \pi \,\varphi\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c} \varphi\\ \chi \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\-2\,m\,c^2\, \chi \end{array} \right)$

In der letzten Zeile ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenenergie $m\,c^2\,.$ Daher ist $χ$ klein gegen $\varphi$ und ungefähr gleich

$\chi \approx \frac{\vec \sigma\vec{\pi}\,\varphi}{2\,m\,c}\,.$

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{(\vec \sigma\, \vec \pi)^2}{2\,m} \,\varphi +q\, \phi\, \varphi\,.$

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

$(\vec \sigma\, \vec \pi)^{\,2}=\sigma^i\,\sigma^j \pi^i \pi^j= (\delta^{ij}+\mathrm i \varepsilon^{ijk}\sigma^k) \pi^i \pi^j= \vec{\pi}^2 - \frac{q}{c}\,\hbar\, \vec{\sigma}\,\vec{B}\,.$

Der Spinor $\varphi$ genügt daher der Pauli-Gleichung mit $g = 2$ ,

$\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi= \frac{\vec \pi ^{\,2}}{2\,m} \,\varphi + q\,\phi\,\varphi -\frac{q\,\hbar}{2\,m\,c}\,\vec{\sigma}\,\vec{B}\,\varphi\,.$