Ortskurve
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Die Ortskurve ist ein Graph zur Veranschaulichung mathematischer Funktionen bzw. einer (oder mehrerer) ihrer Eigenschaften, oft im komplexen Zahlenbereich. Das Diagramm besteht aus einer Real- und einer Imaginärachse. Im Regelfall wird der Realteil auf der Abszisse und der Imaginärteil auf der Ordinate aufgetragen. Wie das Diagramm zur Asynchronmaschine zeigt, werden in einigen Anwendungsgebieten die Achsen auch vertauscht.
Real- und Imaginärteil werden in Abhängigkeit einer Laufvariablen, meistens der Kreisfrequenz eingetragen. Alternativ, wenn die Daten in Polarkoordinaten vorliegen, kann die Ortskurve über Betrag und Phase konstruiert werden. Da zu einem Punkt auf der Ortskurve der Wert der Laufvariable nicht ersichtlich ist, wird zur Orientierung oft ein Pfeil eingezeichnet, der die Richtung der Laufvariable anzeigt und zusätzlich Zahlenwerte für charakteristische Stellen wie beispielsweise Schnitt mit der Real- und Imaginärachse.
Die Ortskurve wird in den verschiedensten Anwendungsfeldern genutzt, wie der Motorenentwicklung oder der Regelungstechnik. Computer spielen hierbei eine große Rolle, da sie eine schnelle und genaue Darstellung des Graphen ermöglichen. Mit entsprechend Erfahrung können daraus dann wichtige Eigenschaften eines Systems abgelesen werden. Allerdings ist hier auch immer ein gesundes Maß Misstrauen nötig, da ein Graph durch eine zu grobe Schrittweite der Darstellung immer Informationen unterschlagen kann, die dann unter Umständen zu Fehlinterpretationen führen.
Oft kann auch anhand einzelner Werte, die aus einer Messung stammen können, der Verlauf der Ortskurve abgeschätzt werden. Ist zusätzlich die grundsätzliche Form der Kurve bekannt, kann mit wenigen Messwerten eine Aussage über das Verhalten des Gesamtsystems gemacht werden. Das Beispiel der Asynchronmaschine veranschaulicht das.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Berechnung der Ortskurve anhand eines Beispiels
Wenn wir z.B. die Ortskurve für alle Wendepunkte der Funktion
mit 
bestimmen möchten, so geht man folgendermaßen vor:
- Wendepunkte bestimmen:
und 
- Da die Funktion achsensymmetrisch zur Y-Achse ist, kann man mit einem einzigen Wendepunkt weiterarbeiten.
- X- und Y-Koordinate in Gleichungen schreiben:
und 
- x-Gleichung nach Parameter t auflösen:
- Gleichung von t in Y-Gleichung einsetzen:
Unsere Ortskurve für alle Wendepunkte der Funktion 
lautet also: 
[Bearbeiten] Ortskurve in der Elektrotechnik
In der Elektrotechnik ist eine Ortskurve eine bestimmte grafische Darstellung. Mit ihrer Hilfe lassen sich manche Probleme, wie zum Beispiel das Verhalten von Schaltungen bei variablen Widerständen oder veränderlichen Frequenzen darstellen. Ebenso sind Ortskurven ein klassisches Veranschaulichungsmittel in der Elektrotechnik, die im Zeitalter leistungsfähiger und allgemein verfügbarer Rechner und Simulationssystemen einfach dargestellt werden kann. Ortskurven erlauben es, bestimmte Berechnungen mittels einfacher Kombinationen aus zeichnerischen (grafischen, geometrischen) Operationen und vereinfachter Rechnungen durchzuführen.
Formal ist eine Ortskurve in der Elektrotechnik definiert als
die Endpunkte eines im Anfangspunktes "festgehaltenen" Widerstands- oder Leitwert-Vektors in der Gaußschen Zahlenebene, wenn sich der Wert eines einzigen Elementes der Schaltung oder die Frequenz des Signals kontinuierlich ändert.
Einzelne Bauelemente besitzen dabei typische Ortskurven. Werden einzelne Bauelemente zusammengeschaltet, so entspricht dies bestimmten grafischen Operationen im Ortskurven-Diagramm. Durch Ausführen dieser Operationen unter Benutzung der Ortskurven der einzelnen Elemente lässt sich die Ortskurve der zusammengeschalteten Elemente schrittweise, nach "Kochrezept", grafisch konstruieren. Die sich ergebende Ortskurve beschreibt dann das Verhalten der gesamten Schaltung.
Typischerweise beinhaltet die grafische Konstruktion einer Ortskurve das mehrfache Wechseln des Darstellungssystems von der Widerstands- in die Leitwertebene und zurück. Dieser Wechsel ist selber wieder eine grafische Operation, die in diesem Zusammenhang Inversion der Ortskurve am Einheitskreis (Inversionskreis) genannt wird. Das Beherrschen der Inversion und die Kenntnis der einzelnen Bauelemente-Ortskurven ist der Schlüssel zur Durchführung von Schaltungsberechnungen mittels Ortskurven.
Um die Ortskurve zeichnen zu können, betrachtet man die Grenzwerte des sich ändernden Parameters und berechnet jeweils den Betrag und die Phase der komplexen Rechnung. Die entsprechenden Endpunkte werden in einer Gaussschen Zahlenebene eingetragen.
Dabei beschreibt diese komplexe Rechnung meist ein System mit Hilfe der Übertragungsfunktion G(jω) bzw. G(s). An der Ortskurve kann man auch ablesen, ob sich dieses System stabil oder instabil verhält, das erkennt man daran, ob die Ortskurve für wachsende Frequenz ω "links" oder "rechts" am kritischen Punkt vorbei geht. Der kritische Punkt ist hierbei der Punkt -1 auf der reellen Achse.
Wenn man die Ortskurve entlangfährt für wachsende Frequenz ω, und der kritische Punkt liegt immer links der Ortskurve, ist das System stabil (nach Nyquist-Stabilitätskriterium). Man sagt auch, die Ortskurve darf den kritischen Punkt nicht umschließen. Der kritische Punkt wird beschrieben durch: Betrag = 1 und Phase = 180°.
Wichtige Punkte zur Skizzierung der Ortskurve sind der Anfangspunkt (für ω→0) und der Endpunkt (ω→∞). Der Anfangspunkt ist abhängig von der Anzahl q der I-Anteile (0 - 2) der Übertragungsfunktion des Systems. Ist q=0 (P-Verhalten) fängt die Ortskurve bei der stationären Verstärkung Kstat. (nicht in dB) auf der reellen Achse an. Für q=1 (Einfach-I-Verhalten) fängt sie bei -90° an, kommt also von unten aus dem Imaginär-Unendlichen im Abstand K(b1-a1) von der Im-Achse. b1 ist der Koeffizient vor dem einfachen s im Zähler-Polynom und a1 der Koeffizient vor dem einfachen s im Nenner-Polynom der Übertragungsfunktion. Ist q=2 (Doppelt-I-Verhalten) kommt sie aus dem negativem reell Unendlichen (also von links) bei -180° parallel zur Reellen-Achse.
Der Winkel des Einlaufs in den Endpunkt (für ω→∞), wird durch die Ordnungszahl d bestimmt. Diese berechnet sich so: d=m-(n+q)*90° , Ist m<(n+q) endet sie im Ursprung. Ist m=(n+q) endet sie bei (bm / an)K.
Die Anzahl der Polstellen ist gleich der Systemordnung. Diese ergibt die Anzahl der durchlaufenen Quadranten. Bei z.B. 2 Polstellen durchläuft sie also 2 Quadranten und läuft bei -180° ein. Wenn aber noch eine Nullstelle vorhanden ist, dann durchläuft sie zwar 2 Quadranten, aber läuft bei -90° ein.
Die Übertragungsfunktion wird vorher auf diese Form normiert: 
Eine besondere Ortskurve in der Regelungstechnik ist die Wurzelortskurve. Sie beschreibt das "Wandern" von Polstellen eines Systems, abhängig einer sich ändernden Größe, diese Größe ist hier meist der Verstärkungsfaktor K des Reglers.
