Jordan-Algebra

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In der Mathematik heißt eine kommutative Algebra A eine Jordan-Algebra, wenn für alle x,y aus A gilt x(x²y) = x²(xy).

Eine alternative Definition ist x ^{− 1}(xy) = x(x ^{− 1}y) (x,y aus A, x invertierbar).

D.h. A ist in der Regel nicht assoziativ, es gilt aber eine schwache Form des Assoziativgesetzes.

Benannt ist sie nach dem deutschen Physiker Pascual Jordan, der sie zur Axiomatiserung der Quantentheorie einsetzen wollte.

[Bearbeiten] Spezielle und exzeptionelle Jordan-Algebren

Aus einer assoziativen Algebra A von Charakteristik ungleich 2, lässt sich eine Jordan-Algebra A ⁺ konstruieren, indem man bei unveränderter Additionen eine neue Multiplikation definiert:

.

Jordan-Algebren isomorph zu so gebildeten heißen spezielle Jordan-Algebren, die anderen exzeptionelle Jordan-Algebren.

Die exzeptionelle Jordan-Algebra M(3,8) (auch als E₃ bezeichnet) ist durch Matrizen des folgenden Typs

gegeben. Hierbei sind a,b,c reelle Zahlen und X,Y,Z Oktonionen, die Multiplikation ist wie oben gegeben, aber es handelt sich nicht um eine spezielle Jordan-Algebra, da die Multiplikation der Oktonionen nicht assoziativ ist.

[Bearbeiten] Literatur

• Hel Braun, Max Koecher: Jordan-Algebren, Springer Berlin 1998 ISBN 3540035222
• Tonny A. Springer: Jordan Algebras and Algebraic Groups, Springer-Verlag Heidelberg 1998